📝 天津大学 2026年高等代数真题
第1题
1．称 $\displaystyle f \in \mathbb{R}\left[x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right]$ 为反对称多项式，如果对 $\displaystyle [1,2, \cdots, n]$ 的任意置换 $\displaystyle \sigma$ ，均有
$$
f\left(x_{\sigma(1)}, x_{\sigma(2)}, \cdots, x_{\sigma(n)}\right)=\varepsilon_{\sigma} f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)
$$
其中 $\displaystyle \varepsilon_{\sigma}$ 表示 $\displaystyle \sigma$ 的符号。令 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 为反对称多项式．证明：
（1）对任意的 $\displaystyle i \neq j$ ，有 $\displaystyle \left(x_{i}-x_{j}\right) \mid f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ ．
（2）$\displaystyle \Delta=\prod_{1 \leq i<j \leq n}\left(x_{i}-x_{j}\right)$ 为反对称多项式．
（3）存在对称多项式 $g$ ，使得 $\displaystyle f=g \Delta$ ．
$$
f\left(x_{\sigma(1)}, x_{\sigma(2)}, \cdots, x_{\sigma(n)}\right)=\varepsilon_{\sigma} f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)
$$
其中 $\displaystyle \varepsilon_{\sigma}$ 表示 $\displaystyle \sigma$ 的符号。令 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 为反对称多项式．证明：
（1）对任意的 $\displaystyle i \neq j$ ，有 $\displaystyle \left(x_{i}-x_{j}\right) \mid f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ ．
（2）$\displaystyle \Delta=\prod_{1 \leq i<j \leq n}\left(x_{i}-x_{j}\right)$ 为反对称多项式．
（3）存在对称多项式 $g$ ，使得 $\displaystyle f=g \Delta$ ．
第2题
2．已知 $\displaystyle A, B, C, D$ 均为 $n$ 阶方阵，证明：
（1）$\displaystyle \left|\begin{array}{ll}A & B \\ B & A\end{array}\right|=|A+B||A-B|$ ．
（2）$\displaystyle \left|\begin{array}{llll}A & B & C & D \\ B & A & D & C \\ C & D & A & B \\ D & C & B & A\end{array}\right|=|A+B+C+D\|A+B-C-D\| A-B+C-D \| A-B-C+D|$ ．
（1）$\displaystyle \left|\begin{array}{ll}A & B \\ B & A\end{array}\right|=|A+B||A-B|$ ．
（2）$\displaystyle \left|\begin{array}{llll}A & B & C & D \\ B & A & D & C \\ C & D & A & B \\ D & C & B & A\end{array}\right|=|A+B+C+D\|A+B-C-D\| A-B+C-D \| A-B-C+D|$ ．
第3题
3．设 $\displaystyle \mathbb{Q}[A]=\{f(A) \mid f(x) \in \mathbb{Q}[x]\}$ ，其中 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}0 & \sqrt{2} \\ 1 & 0\end{array}\right)$ ，证明： $\displaystyle \mathbb{Q}[A]$ 中的非零矩阵均为可逆矩阵．
第4题
4．设 $V$ 是 $n$ 维线性空间，$\displaystyle e_{1}, e_{2}, \cdots, e_{n}$ 是 $n$ 个向量，若 $V$ 中任一向量均可由 $\displaystyle e_{1}, e_{2}, \cdots, e_{n}$ 线性表出，证明：$\displaystyle e_{1}, e_{2}, \cdots, e_{n}$ 是 $V$ 的一组基．
第5题
5．化下列实二次型为标准形：$\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=n \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}-\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i}\right)^{2}$ ．
第6题
6．设 $V$ 是 $n$ 维线性空间，$\displaystyle V^{*}$ 是 $V$ 的对偶空间，若 $\displaystyle W \subset V^{*}$ 是 $r$ 维子空间，证明：
$$
W^{\perp}=\{v \in V \mid l(v)=0, \forall l \in W\} \subset V
$$
是 $\displaystyle n-r$ 维线性子空间．
$$
W^{\perp}=\{v \in V \mid l(v)=0, \forall l \in W\} \subset V
$$
是 $\displaystyle n-r$ 维线性子空间．
第7题
7．设 $\displaystyle T: V \rightarrow V$ 是实数域 $n$ 维线性空间 $V$ 上的一个线性算子，且 $\displaystyle T^{3}=T$ ，其中 $\displaystyle n>1$ ．
（1）证明：存在 $V$ 的一组基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ ，使得 $T$ 在这组基下的矩阵为对角矩阵。
（2）如果存在一个 $n$ 阶实方阵 $A$ ，使得 $T$ 在 $V$ 的任意一组基下的矩阵均为 $A$ ，证明：$A$ 为 $\displaystyle E_{n},-E_{n}$ 或零矩阵。
（1）证明：存在 $V$ 的一组基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ ，使得 $T$ 在这组基下的矩阵为对角矩阵。
（2）如果存在一个 $n$ 阶实方阵 $A$ ，使得 $T$ 在 $V$ 的任意一组基下的矩阵均为 $A$ ，证明：$A$ 为 $\displaystyle E_{n},-E_{n}$ 或零矩阵。
第8题
8．设 $n$ 阶复矩阵 $A$ 有 $n$ 个不同的特征值，其中 $\displaystyle n>1$ ．
（1）设 $B$ 为一个 $n$ 阶复方阵，且 $B$ 与 $A$ 有完全相同的特征多项式．证明：存在两个复方阵 $\displaystyle P, Q$ ，使得 $\displaystyle A=P Q$ 且 $\displaystyle B=Q P$ ．
（2）$C$ 为 $n$ 阶复方阵，且 $\displaystyle A C=C A, C^{n}=O$ ，求矩阵 $C$ ．
（1）设 $B$ 为一个 $n$ 阶复方阵，且 $B$ 与 $A$ 有完全相同的特征多项式．证明：存在两个复方阵 $\displaystyle P, Q$ ，使得 $\displaystyle A=P Q$ 且 $\displaystyle B=Q P$ ．
（2）$C$ 为 $n$ 阶复方阵，且 $\displaystyle A C=C A, C^{n}=O$ ，求矩阵 $C$ ．
第9题
9．设 $\displaystyle T: V \rightarrow V$ 是欧氏空间上的一个正规算子．
（1）证明：$T$ 的伴随算子的核空间与 $T$ 的核空间相等．
（2）若 $\displaystyle T^{2}=T$ ，则 $T$ 必为对称算子．
（1）证明：$T$ 的伴随算子的核空间与 $T$ 的核空间相等．
（2）若 $\displaystyle T^{2}=T$ ，则 $T$ 必为对称算子．