📝 安徽师范大学 2014年高等代数真题

一，（20 分）设 $k$ 和 $n$ 都是正整数，多项式 $\displaystyle f(x)=x^{n}-1, d(x)=x^{k}-1$ ，证明：
$\displaystyle d(x)$ 整除 $\displaystyle f(x)$ 当且仅当 $k$ 整除 $n$ ．

七，（20 分）设 3 级复方阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1 \\ -4 & -4 & -2 \\ 0 & 0 & -2\end{array}\right)$ ，
（1）$A$ 的不变因子，初等因子．
（2）$A$ 的最小多项式．
（3）$A$ 的若尔当标准型．

三，（10 分）设 $n$ 是一个正整数，计算 $\displaystyle n+1$ 阶行列式：

$$
D_{n+1}=\left|\begin{array}{cccccc}
x & 1 & 2 & \cdots & n-1 & n \\
1 & x & 2 & \cdots & n-1 & n \\
1 & 2 & x & \cdots & n-1 & n \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
1 & 2 & 3 & \cdots & x & n \\
1 & 2 & 3 & \cdots & n & x
\end{array}\right|
$$

九，（15 分）设 $n$ 是一个正整数，$n$ 级实矩阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}, B=\left(b_{i j}\right)$ 都是正定矩阵， $\displaystyle c_{i j}=a_{i j} b_{i j},(i, j=1,2, \cdots, n)$ ，证明：$n$ 级方阵 $\displaystyle C=\left(c_{i j}\right)$ 也是正定矩阵。

二，（ 15 分 ）设 $\displaystyle f_{1}(x)$ 和 $\displaystyle f_{2}(x)$ 都 是 非 零 的 复 系 数 多 项 式，且 $\displaystyle \left(x^{2}+x+1\right) \mid\left(x f_{1}\left(x^{3}\right)+f_{2}\left(x^{3}\right)\right)$ ，证明：$\displaystyle (x-1) \mid\left(f_{1}(x), f_{2}(x)\right)$ ．

五，（20 分）已知 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}1 & b & 1 \\ b & a & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4\end{array}\right)$ 都是 3 级实对称矩阵，且有正交矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P=B$ ，试求 $\displaystyle a, b$ 和正交矩阵 $P$ ．

八，（15 分）设 $n$ 是一个正整数，$T$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的一个线性变换， $\displaystyle T^{2}=T, T^{-1}(0)=\{\xi \in V \mid T \xi=0\}$ 是 $T$ 的核，$\displaystyle T(V)=\{T \xi \mid \xi \in V\}$ 是 $T$ 的值域。证明
（1）$\displaystyle T^{-1}(0)=\{\xi-T \xi \mid \xi \in V\}$ ；
（2）$\displaystyle V=T^{-1}(0) \oplus T(V)$

六，（15 分）设 $n$ 是一个正整数，$\displaystyle \sigma$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的一个线性变换．，$\displaystyle \xi \in V$使得 $\displaystyle \sigma^{n-1}(\xi) \neq 0$ 但 $\displaystyle \sigma^{n}(\xi) \neq 0$ ，证明
（1）向量组 $\displaystyle \xi, \sigma(\xi), \cdots \sigma^{n-1}(\xi)$ 是线性无关的；
（2）$\displaystyle \sigma$ 在一组基下的矩阵是 $\displaystyle \left(\begin{array}{ccccc}0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & 0\end{array}\right)$

四，（20 分）设 $n$ 是一个正整数，$A$ 是一个 $n$ 级实矩阵，$\displaystyle A^{T}$ 是 $A$ 的转置矩阵，$b$一个 $n$ 维实的列向量，证明：线性方程组 $\displaystyle A^{T} A x=A^{T} b$ 必定有解．