📝 安徽师范大学 2017年高等代数真题
第0题
一，（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是一个整系数多项式，$\displaystyle a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 为互不相同的四个整数，若 $\displaystyle f\left(a_{1}\right)=f\left(a_{2}\right)=f\left(a_{3}\right)=f\left(a_{4}\right)=1$ ，证明：对于任意整数 $\displaystyle n, f(n)-1$ 一定不为素数．
第0题
七，（20 分）设实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}-4 x_{1} x_{3}+2 a x_{2} x_{3}$ 可以经过正交线性替换化为 $\displaystyle 3 y_{1}^{2}+3 y_{2}^{2}+b y_{3}^{2}$ ．
（1）求 $\displaystyle a, b$ 的值，并判断二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 是否为正定二次型．
（2）写出所作的正交线性替换．
（1）求 $\displaystyle a, b$ 的值，并判断二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 是否为正定二次型．
（2）写出所作的正交线性替换．
第0题
三，（15 分）设 $E$ 为 $n$ 阶单位矩阵，$A$ 为 $n$ 阶实矩阵，且满足 $\displaystyle A^{2}+2 A+2 E=0$ ．证明（1）对于任意实数 $a$ ，方阵 $\displaystyle A+a E$ 都是可逆矩阵。
（2）将 $\displaystyle A+3 E$ 的逆矩阵表示为 $A$ 的多项式．
（2）将 $\displaystyle A+3 E$ 的逆矩阵表示为 $A$ 的多项式．
第0题
九，（15 分）设 $A$ 为复数域上的 $n$ 阶方阵，证明：存在两个对称矩阵 $\displaystyle A_{1}$ 和 $\displaystyle A_{2}$ ，使得 $\displaystyle A=A_{1} A_{2}$ ．
第0题
二．（15 分）设 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 为 $n$ 个互不相同的实数，$\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x), \cdots, f_{n}(x)$ 为 $n$ 个次数不超过 $\displaystyle n-2$ 的式系数多项式，计算 $n$ 阶行列式
$$
D_{n}=\left|\begin{array}{cccc}
f_{1}\left(a_{1}\right) & f_{1}\left(a_{2}\right) & \cdots & f_{1}\left(a_{n}\right) \\
f_{2}\left(a_{1}\right) & f_{2}\left(a_{2}\right) & \cdots & f_{2}\left(a_{n}\right) \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
f_{n}\left(a_{1}\right) & f_{n}\left(a_{2}\right) & \cdots & f_{n}\left(a_{n}\right)
\end{array}\right|
$$
$$
D_{n}=\left|\begin{array}{cccc}
f_{1}\left(a_{1}\right) & f_{1}\left(a_{2}\right) & \cdots & f_{1}\left(a_{n}\right) \\
f_{2}\left(a_{1}\right) & f_{2}\left(a_{2}\right) & \cdots & f_{2}\left(a_{n}\right) \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
f_{n}\left(a_{1}\right) & f_{n}\left(a_{2}\right) & \cdots & f_{n}\left(a_{n}\right)
\end{array}\right|
$$
第0题
五，（20 分）已知向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \cdots \alpha_{m-1}(m \geq 2)$ 线性相关，向量组 $\displaystyle \alpha_{2}, \cdots \alpha_{m}$ 线性无关．证明（1）$\displaystyle \alpha_{1}$ 可以由 $\displaystyle \alpha_{2}, \cdots \alpha_{m}$ 线性表出，且表示方式唯一；
（2）$\displaystyle \alpha_{m}$ 不能由 $\displaystyle \alpha_{1}, \cdots \alpha_{m-1}$ 线性表出．
（2）$\displaystyle \alpha_{m}$ 不能由 $\displaystyle \alpha_{1}, \cdots \alpha_{m-1}$ 线性表出．
第0题
八，（15 分）设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶实方阵，证明：
（1）$\displaystyle r(A B) \geq r(A)+r(B)-n$ ；
（2）若存在正整数 $k$ ，使得 $\displaystyle A^{k}=0$（即 $A$ 为幂零矩阵），则 $\displaystyle r(A) \leq \frac{n(k-1)}{k}$ ．
（1）$\displaystyle r(A B) \geq r(A)+r(B)-n$ ；
（2）若存在正整数 $k$ ，使得 $\displaystyle A^{k}=0$（即 $A$ 为幂零矩阵），则 $\displaystyle r(A) \leq \frac{n(k-1)}{k}$ ．
第0题
六，（15 分）设 $\displaystyle f, g$ 为线性空间 $V$ 的线性变换，且 $\displaystyle f^{2}=f, g^{2}=g$ 。证明：$f$ 与 $g$ 由相同核的充分必要条件是 $\displaystyle f g=f$ 且 $\displaystyle g f=g$ ．
第0题
四，（20 分）设 $A$ 为 3 阶实矩阵，实数 $a$ 满足线性方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{c}x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=3 \\ 2 x_{1}+(a+4) x_{2}-5 x_{3}=6 \text { ，} \\ -x_{1}-2 x_{2}+a x_{3}=-3\end{array}\right.$有无穷多个解，且 $\displaystyle \alpha_{1}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 a \\ -1\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{c}a \\ a+3 \\ a+2\end{array}\right), \alpha_{3}=\left(\begin{array}{c}a-2 \\ -1 \\ a+1\end{array}\right)$ 为 $A$ 的分别属于三个特征值 $\displaystyle \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=-1, \lambda_{3}=0$ 的特征向量。求
（1）矩阵 $A$
（2）行列式 $\displaystyle \left|A^{2017}+2 E\right|$
（1）矩阵 $A$
（2）行列式 $\displaystyle \left|A^{2017}+2 E\right|$