📝 安徽师范大学 2021年高等代数真题

一、（15分）设 $\displaystyle p(x), f(x) \in \mathbb{Q}[x]$ ，且 $\displaystyle p(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上不可约．
（1）若存在 $\displaystyle \alpha \in \mathbb{R}$ ，使得 $\displaystyle p(\alpha)=f(\alpha)=0$ ，则 $\displaystyle p(x) \mid f(x)$ ；
（2）若 $\displaystyle a+\sqrt{b}(a, b$ 为有理数，$\displaystyle \sqrt{b}$ 为无理数 $\displaystyle )$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的一个根，则 $\displaystyle a-\sqrt{b}$ 也为 $\displaystyle f(x)$ 的根．．

七、（15分）设 5 阶 $\displaystyle \lambda$－短阵 $\displaystyle A(\lambda)$ 的秩为 4 ，其初等因子为 $\displaystyle \lambda, \lambda, \lambda^{2}, \lambda-1, \lambda-1, \lambda+1,(\lambda+1)^{2}$ ，求 $\displaystyle A(\lambda)$的行列式因子、不变因子及标准形。

三、（20 分）当 $\displaystyle \lambda$ 为何值时，方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}\lambda x_{1}+x_{2}+x_{3}=(a-1) \lambda+1 \\ x_{1}+\lambda x_{2}+x_{3}=a \\ x_{1}+x_{2}+\lambda x_{3}=a\end{array}\right.$ 有唯一解、有无穷多解、无解？并在有解时求出解．

九、（15 分）设 $A$ 是 $n$ 阶非零实反对称矩阵。证明：
（1）$A$ 的特征值只能为 0 或纯虚数；
（2）矩阵 $\displaystyle T=(E+A)^{-1}(E-A)$ 为正交矩阵。

二、（15 分）计算行列式 $\displaystyle D_{n}=\left|\begin{array}{ccccc}x_{1} & a_{1} & \ldots & a_{1} & a_{1} \\ a_{2} & x_{2} & \ldots & a_{2} & a_{2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{n-1} & a_{n-1} & \ldots & x_{n-1} & a_{n-1} \\ a_{n} & a_{n} & \ldots & a_{n} & x_{n}\end{array}\right|$ ．

五、（ 15 分）设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$E$ 为 $n$ 阶单位矩阵，且 $\displaystyle A^{2}=2020 A$ ．
（1）证明：秩 $\displaystyle (A)+$ 秩 $\displaystyle (A-2020 E)=n$ ；
（2）若 $A$ 的秩为 $\displaystyle r>0$ ），求 $\displaystyle |E+A|$ 的值．

八、（15分）设 $\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle p(x)$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上的多项式，$k$ 是正整数。
（1）证明：若 $\displaystyle p(x)$ 是 $\displaystyle \left(f(x), f^{\prime}(x)\right)$ 的 $k$ 重因式，则 $\displaystyle p(x)$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的 $\displaystyle k+1$ 重因式；
（2）若 $\displaystyle f(x)=x^{5}-x^{4}-x^{3}-11 x^{2}-8 x-12$ ，将 $\displaystyle f(x)$ 在有理数范围内因式分解．

六、（20 分）设 $\displaystyle \mathcal{A}$ 是向量空间 $V$ 的线性变换，且 $\displaystyle \mathcal{A}^{2}=\mathcal{A}$ 。证明：
（1） $\displaystyle \mathcal{A}$ 为可逆变换当且仅当 $\displaystyle \mathcal{A}$ 为恒等变换；
（2） $\displaystyle \mathcal{A}$ 的特征值只能为 0 或 1 ；
（3）若 $\displaystyle V_{0}, V_{1}$ 分别是特征值 0,1 的特征子空间，则 $\displaystyle V_{1}=\mathcal{A}$ 的值域 $\displaystyle \mathcal{A} V, V_{0}=\mathcal{A}$ 的核 $\displaystyle \mathcal{A}^{-1}(0)$ ．

四、（20 分）用正交的线性替换化二次型 $\displaystyle 2 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-4 x_{1} x_{2}-4 x_{2} x_{3}$ 为标准形．