📝 广西民族大学 2017年高等代数真题
第0题
一、（15 分）设 $\displaystyle f(x)=x^{4}+2 x^{3}-x^{2}-4 x-2, g(x)=x^{4}+x^{3}-x^{2}-2 x-2$ 都是有理数域 $Q$ 上的多项式，求 $\displaystyle u(x), v(x) \in Q[x]$ 使得
$$
f(x) u(x)+g(x) v(x)=(f(x), g(x)) .
$$
$$
f(x) u(x)+g(x) v(x)=(f(x), g(x)) .
$$
第0题
七、（15 分）设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}4 & 6 & 0 \\ -3 & -5 & 0 \\ -3 & -6 & 1\end{array}\right)$ ，问矩阵 $A$ 是否可以对角化？若 $A$ 可以对角化，求出一个可逆矩阵 $T$ ，使得 $\displaystyle T^{-1} A T$ 成对角形．
第0题
三、（ 15 分）$\displaystyle \lambda$ 取怎样的数值时，线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
\lambda x_{1}+x_{2}+2 x_{3}-3 x_{4}=2 \\
\lambda^{2} x_{1}-3 x_{2}+2 x_{3}+x_{4}=-1 \\
\lambda^{3} x_{1}-x_{2}+2 x_{3}-x_{4}=-1
\end{array}\right.
$$
有解？
$$
\left\{\begin{array}{l}
\lambda x_{1}+x_{2}+2 x_{3}-3 x_{4}=2 \\
\lambda^{2} x_{1}-3 x_{2}+2 x_{3}+x_{4}=-1 \\
\lambda^{3} x_{1}-x_{2}+2 x_{3}-x_{4}=-1
\end{array}\right.
$$
有解？
第0题
九、（15 分）证明：实二次型 $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}(\lambda i j+i+j) x_{i} x_{j}(n>1)$ 的秩和符号差与 $\displaystyle \lambda$ 无关。
第0题
二、（15 分）计算 $n$ 阶行列式
$$
\left|\begin{array}{ccccc}
x-a & a & a & \cdots & a \\
a & x-a & a & \cdots & a \\
a & a & x-a & \cdots & a \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a & a & a & \cdots & x-a
\end{array}\right| .
$$
$$
\left|\begin{array}{ccccc}
x-a & a & a & \cdots & a \\
a & x-a & a & \cdots & a \\
a & a & x-a & \cdots & a \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a & a & a & \cdots & x-a
\end{array}\right| .
$$
第0题
五、（15 分）设向量 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}$ 线性无关，而 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}, \beta, \gamma$ 线性相关，证明：或者 $\displaystyle \beta$ 与 $\displaystyle \gamma$ 中至少有一个可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}$ 线性表示，或者向量组 $\displaystyle \left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}, \beta\right\}$ 与 $\displaystyle \left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}, \gamma\right\}$ 等价。
第0题
八、（20 分）（1）证明：在一个欧氏空间里，对于任意向量 $\displaystyle \xi, \eta$ ，有不等式： $\displaystyle (\xi, \eta)^{2} \leq(\xi, \xi)(\eta, \eta)$ ，当且仅当 $\displaystyle \xi$ 与 $\displaystyle \eta$ 线性相关时，此不等式才取等号；（2）设 $\displaystyle \alpha, \beta$ 是欧氏空间两个线性无关的向量，且满足以下条件：$\displaystyle \frac{2(\alpha, \beta)}{(\alpha, \alpha)}$ 和 $\displaystyle \frac{2(\alpha, \beta)}{(\beta, \beta)}$ 都是 $\displaystyle \leq 0$ 的整数．证明：$\displaystyle \alpha$ 与 $\displaystyle \beta$ 的夹角只可能是 $\displaystyle \frac{\pi}{2}, \frac{2}{3} \pi, \frac{3}{4} \pi$ 或 $\displaystyle \frac{5}{6} \pi$ ．
第0题
六、（20 分）证明：$\displaystyle \left\{x^{3}, x^{3}+x, x^{2}+1, x+1\right\}$ 是 $\displaystyle F_{3}[x]$（数域 $F$ 上一切次数 $\displaystyle \leq 3$ 的多项式及零）的一个基．求多项式 $\displaystyle x^{2}+2 x+3$ 关于这个基 $\displaystyle \left\{x^{3}, x^{3}+x, x^{2}+1, x+1\right\}$ 的坐标．
第0题
四、（20分）设行列式
$$
\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right|=0
$$
令 $\displaystyle A_{i j}$ 是元素 $\displaystyle a_{i j}$ 的代数余子式，证明：矩阵
$$
\left(\begin{array}{cccc}
A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n 1} \\
A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n 2} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
A_{1 n} & A_{2 n} & \cdots & A_{n n}
\end{array}\right)
$$
的秩 $\displaystyle \leq 1$ ．
$$
\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right|=0
$$
令 $\displaystyle A_{i j}$ 是元素 $\displaystyle a_{i j}$ 的代数余子式，证明：矩阵
$$
\left(\begin{array}{cccc}
A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n 1} \\
A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n 2} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
A_{1 n} & A_{2 n} & \cdots & A_{n n}
\end{array}\right)
$$
的秩 $\displaystyle \leq 1$ ．