📝 广西民族大学 2018年数学分析真题
第0题
一、求下列极限（每小题 10 分，共 20 分）
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1-\cos x^{2}}}{1-\cos x}$ ；
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots \ldots \ldots+\frac{1}{n+n}\right)$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1-\cos x^{2}}}{1-\cos x}$ ；
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots \ldots \ldots+\frac{1}{n+n}\right)$ ．
第0题
七、（15 分）设 $\displaystyle f(x, y)=\frac{x y}{x^{2}+y^{2}}$ ，试讨论二重极限 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)$ 与累次极限
$\displaystyle \lim _{y \rightarrow 0} \lim _{x \rightarrow 0} f(x, y) 、 \lim _{x \rightarrow 0} \lim _{y \rightarrow 0} f(x, y)$ 是否存在．
$\displaystyle \lim _{y \rightarrow 0} \lim _{x \rightarrow 0} f(x, y) 、 \lim _{x \rightarrow 0} \lim _{y \rightarrow 0} f(x, y)$ 是否存在．
第0题
三、（15 分）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (a, b)$ 内非负、具有三阶导数，且方程 $\displaystyle f(x)=0$ 有两个相异实根，则存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime \prime}(\xi)=0$ ．
第0题
九、（10 分）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上的可积函数，且 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶级数在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，则成立 parseval 不等式：
$$
\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f^{2}(x) d x=\frac{a_{0}^{2}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)
$$
这里 $\displaystyle a_{n} 、 b_{n}$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶级数．
$$
\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f^{2}(x) d x=\frac{a_{0}^{2}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)
$$
这里 $\displaystyle a_{n} 、 b_{n}$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶级数．
第0题
二、（15 分）设函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{m} \sin \frac{1}{x} & x \neq 0 \\ 0 & x=0\end{array}\right.$（ $m$ 为正整数），试问：（1）$m$ 等于何值时，$f$ 在 $\displaystyle x=0$
连续；（2）$m$ 等于何值时，$f$ 在 $\displaystyle x=0$ 可导；（3）$m$ 等于何值时，$\displaystyle f^{\prime}$ 在 $\displaystyle x=0$ 连续．
连续；（2）$m$ 等于何值时，$f$ 在 $\displaystyle x=0$ 可导；（3）$m$ 等于何值时，$\displaystyle f^{\prime}$ 在 $\displaystyle x=0$ 连续．
第0题
五、（15 分）旋转抛物面 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ 被平面 $\displaystyle x+y+z=1$ 截成一椭园，求原点到这椭园的最长与最短距离。
第0题
八、（15 分）证明：由方程 $\displaystyle a x+b y+c z=\phi\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)$ 所定的函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 满足方程
$$
(c y-b z) \frac{\partial z}{\partial x}+(a z-c x) \frac{\partial z}{\partial y}=b x-a y
$$
其中 $\displaystyle \phi(u)$ 是 $u$ 的可微函数，$\displaystyle a, b, c$ 为常数．
$$
(c y-b z) \frac{\partial z}{\partial x}+(a z-c x) \frac{\partial z}{\partial y}=b x-a y
$$
其中 $\displaystyle \phi(u)$ 是 $u$ 的可微函数，$\displaystyle a, b, c$ 为常数．
第0题
六、计算下列积分（每小题 10 分，共 30 分）
（1） $\displaystyle \int \frac{\sin x \cos ^{3} x}{1+\sin ^{2} x} d x$ ；
（2） $\displaystyle \int_{0}^{4}\left[e^{x}\right] d x$（注［。］表取整函数）；
（3）$\displaystyle I=\iint_{D} \sin x^{2} \cos y^{2} d x d y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y): x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}$ ．
（1） $\displaystyle \int \frac{\sin x \cos ^{3} x}{1+\sin ^{2} x} d x$ ；
（2） $\displaystyle \int_{0}^{4}\left[e^{x}\right] d x$（注［。］表取整函数）；
（3）$\displaystyle I=\iint_{D} \sin x^{2} \cos y^{2} d x d y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y): x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}$ ．
第0题
四、（15 分）求曲线 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-3 x=0,2 x-3 y+5 z-4=0$ 在点（1，1，1）处的切线方程和法平面方程．