📝 广西民族大学 2019年高等代数真题
第0题
一、（15 分）
设 $\displaystyle m, n, p$ 为非负整数，$\displaystyle f(x)=x^{3 m}-x^{3 n+1}+x^{3 p+2}, g(x)=x^{2}-x+1$ ，且满足 $\displaystyle g(x) \mid f(x)$ ，证明 $\displaystyle m, n, p$ 具有相同的奇偶性．
设 $\displaystyle m, n, p$ 为非负整数，$\displaystyle f(x)=x^{3 m}-x^{3 n+1}+x^{3 p+2}, g(x)=x^{2}-x+1$ ，且满足 $\displaystyle g(x) \mid f(x)$ ，证明 $\displaystyle m, n, p$ 具有相同的奇偶性．
第0题
七、（15 分）
已知线性空间 $\displaystyle M_{2}(\mathrm{~K})$ 的线性变换及线性子空间 $W$ 如下：
$$
\begin{gathered}
\Psi(X)=B^{T} X-X^{T} B, \quad \forall X \in M_{2}(\mathrm{~K}), \quad \text { 其中 } B=\left(\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{array}\right), \\
W=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll}
x_{11} & x_{12} \\
x_{21} & x_{22}
\end{array}\right) \right\rvert\, x_{11}+x_{22}=0, x_{i j} \in \mathrm{~K}\right\},
\end{gathered}
$$
（1）求 $W$ 的一个基；
（2）证明 $W$ 是 $\displaystyle \Psi$ 的不变子空间。
已知线性空间 $\displaystyle M_{2}(\mathrm{~K})$ 的线性变换及线性子空间 $W$ 如下：
$$
\begin{gathered}
\Psi(X)=B^{T} X-X^{T} B, \quad \forall X \in M_{2}(\mathrm{~K}), \quad \text { 其中 } B=\left(\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{array}\right), \\
W=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll}
x_{11} & x_{12} \\
x_{21} & x_{22}
\end{array}\right) \right\rvert\, x_{11}+x_{22}=0, x_{i j} \in \mathrm{~K}\right\},
\end{gathered}
$$
（1）求 $W$ 的一个基；
（2）证明 $W$ 是 $\displaystyle \Psi$ 的不变子空间。
第0题
三、（15分）
已知线性方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{c}\lambda x_{1}+x_{2}+x_{3}=\lambda-3 \\ x_{1}+\lambda x_{2}+x_{3}=-2 \\ x_{1}+x_{2}+\lambda x_{3}=-2\end{array}\right.$ ，试讨论 $\displaystyle \lambda$ 取何值时，方程组无解、有唯一解和有无穷多组解．
已知线性方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{c}\lambda x_{1}+x_{2}+x_{3}=\lambda-3 \\ x_{1}+\lambda x_{2}+x_{3}=-2 \\ x_{1}+x_{2}+\lambda x_{3}=-2\end{array}\right.$ ，试讨论 $\displaystyle \lambda$ 取何值时，方程组无解、有唯一解和有无穷多组解．
第0题
九、（20分）
已知 $\displaystyle A, B, C, D$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换，且两两可互相交换，并有 $\displaystyle A C+B D=E$ ，这里 $E$ 是单位变换，证明： $\displaystyle \operatorname{ker}(A B)=\operatorname{ker} A \oplus \operatorname{ker} B$ ．
已知 $\displaystyle A, B, C, D$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换，且两两可互相交换，并有 $\displaystyle A C+B D=E$ ，这里 $E$ 是单位变换，证明： $\displaystyle \operatorname{ker}(A B)=\operatorname{ker} A \oplus \operatorname{ker} B$ ．
第0题
二、（15分）
设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n} \in \mathbf{R}$ ，记 $\displaystyle a_{i j}=\sin \left(\alpha_{i}+\alpha_{j}\right), i, j=1, \cdots, n$ ，定义矩阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right) \in \mathbf{R}^{n \times n}$ ，试对 $\displaystyle n=2$ 时计算行列式 $\displaystyle |A|$ 的值；当 $\displaystyle n \geq 3$ 时结果如何？
设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n} \in \mathbf{R}$ ，记 $\displaystyle a_{i j}=\sin \left(\alpha_{i}+\alpha_{j}\right), i, j=1, \cdots, n$ ，定义矩阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right) \in \mathbf{R}^{n \times n}$ ，试对 $\displaystyle n=2$ 时计算行列式 $\displaystyle |A|$ 的值；当 $\displaystyle n \geq 3$ 时结果如何？
第0题
五、（20分）
已知3维线性空间 $V$ 有两组基：
（I）$\displaystyle \left\{\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}\right\}$ ；
（II）$\displaystyle \left\{\varepsilon_{3}, 2 \varepsilon_{2}, 3 \varepsilon_{1}\right\}$
（1）若向量 $\displaystyle \alpha$ 在基（I）下的坐标为 $\displaystyle (1,1,-1)^{T}$ ，求 $\displaystyle \alpha$ 在基（II）下的坐标；
（2）定义线性变换 $\displaystyle \mathbf{A}: \mathbf{A}\left(\varepsilon_{1}\right)=\varepsilon_{1}, \mathbf{A}\left(\varepsilon_{2}\right)=2 \varepsilon_{2}, \mathbf{A}\left(\varepsilon_{3}\right)=3 \varepsilon_{3}-\varepsilon_{1}$ ，求 $\displaystyle \mathbf{A}$ 关于（II）的矩阵 $P$ 。
已知3维线性空间 $V$ 有两组基：
（I）$\displaystyle \left\{\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}\right\}$ ；
（II）$\displaystyle \left\{\varepsilon_{3}, 2 \varepsilon_{2}, 3 \varepsilon_{1}\right\}$
（1）若向量 $\displaystyle \alpha$ 在基（I）下的坐标为 $\displaystyle (1,1,-1)^{T}$ ，求 $\displaystyle \alpha$ 在基（II）下的坐标；
（2）定义线性变换 $\displaystyle \mathbf{A}: \mathbf{A}\left(\varepsilon_{1}\right)=\varepsilon_{1}, \mathbf{A}\left(\varepsilon_{2}\right)=2 \varepsilon_{2}, \mathbf{A}\left(\varepsilon_{3}\right)=3 \varepsilon_{3}-\varepsilon_{1}$ ，求 $\displaystyle \mathbf{A}$ 关于（II）的矩阵 $P$ 。
第0题
八、（20分）
设 $A$ 是 $n$ 阶复方阵， $\displaystyle \operatorname{tr}(A)$ 表示 $A$ 的迹，证明：$\displaystyle A^{n}=0$ 当且仅当
$$
\operatorname{tr}\left(A^{k}\right)=0, \quad k=1,2, \cdots, n .
$$
设 $A$ 是 $n$ 阶复方阵， $\displaystyle \operatorname{tr}(A)$ 表示 $A$ 的迹，证明：$\displaystyle A^{n}=0$ 当且仅当
$$
\operatorname{tr}\left(A^{k}\right)=0, \quad k=1,2, \cdots, n .
$$
第0题
六、（15分）
设二次型为 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=a x_{1}^{2}+a x_{2}^{2}+(a-1) x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{3}-2 x_{2} x_{3}$ ，
（1）求二次型 $f$ 的矩阵的所有特征值；
（2）若 $f$ 的规范形为 $\displaystyle y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$ ，求 $a$ 的值．
设二次型为 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=a x_{1}^{2}+a x_{2}^{2}+(a-1) x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{3}-2 x_{2} x_{3}$ ，
（1）求二次型 $f$ 的矩阵的所有特征值；
（2）若 $f$ 的规范形为 $\displaystyle y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$ ，求 $a$ 的值．
第0题
四、（15 分）
已知 $\displaystyle A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right]$ ，矩阵 $X$ 满足 $\displaystyle A^{*} X=A^{-1}+2 X$ ，其中 $\displaystyle A^{*}$ 是 $A$ 的伴随矩阵，求矩阵 $X$ 。
已知 $\displaystyle A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right]$ ，矩阵 $X$ 满足 $\displaystyle A^{*} X=A^{-1}+2 X$ ，其中 $\displaystyle A^{*}$ 是 $A$ 的伴随矩阵，求矩阵 $X$ 。