📝 曲阜师范大学 2026年数学分析真题

1、求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x} \cdot \sin x-x(1+x)}{x^{3}}$ ．

2、求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+x} \mathrm{~d} x$ ．

3、求级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n+2)(n+1)}{n!} x^{n}$ 的和，并给出收玫域．

4、已知 $D=\{(x, y): 0 \leq x \leq 1, x \leq y \leq 2 \pi\}$ ，计算二重积分 $\iint_{D}(\sqrt{x}+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．

5、求曲线积分 $\displaystyle \oint_{C} \frac{-(x+y) \mathrm{d} x+(x-y) \mathrm{d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $C$ 是以 $A(1,-1), B(1,1), C(-1$ ， 1），$D(-1,-1)$ 为顶点的正方形，方向取为逆时针方向．

6、判断 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\sin x}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ 的玫散性，其中 $1<p<2$ ．

7．问 $\displaystyle f(x, y)=\sin \frac{\pi}{1-x^{2}-y^{2}}$ 在 $D=\left\{(x, y): x^{2}+y^{2}<1\right\}$ 上是否连续？又是否一致连续呢？

8、设对任意向量 $\alpha, \beta$ ，都有 $\lim _{t \rightarrow 0}\left[f\left(x_{0}+t \alpha, y_{0}+t \beta\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)\right]=0$ ，问函数是否在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续？

三、证明题．

$\displaystyle \cdot \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n+x^{2}} \arctan (n x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上是否一致收敛？