📝 湖南师范大学 2023年高等代数真题

1．若 $p(x)$ 是不可约多项式且 $p^{5}(x) \mid f^{2}(x)$ ，是否一定有：$p^{3}(x) \mid f(x)$ ，为什么？

2．若 $A$ 和 $B$ 都是 $n$ 阶正交矩阵，则 $A+B, A B, A^{-1}$ 中哪些必是正交矩阵，为什么？

3．$R^{2}$ 上的线性变换 $\mathbf{A} ; \mathbf{A}(x, y)=(x-3 y, 2 x-y)$ 是否可以对角化？为什么？

4．若 $A$ 是对称矩阵且实二次型 $f=X^{\mathrm{T}} A X$ 正定，则二次型 $f=X^{\mathrm{T}} A^{-1} X$ 一定正定吗？为什么？

5．在 3 维欧氏空间 V 中，是否存在 4 个非零向量，它们之中任意两个向量的夹角都等于 $\theta \neq 0$ （这里 $\displaystyle \cos \theta=-\frac{1}{3}$ ）？为什么？

6．设矩阵 $A=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}\right)$ ，其中 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 均为 $n$ 维列向量，且 $\alpha_{1}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 线性无关，以及 $\alpha_{1}-3 \alpha_{2}+3 \alpha_{3}=\alpha_{4}$ 。如果 $\beta=4 \alpha_{1}+3 \alpha_{2}+2 \alpha_{3}+\alpha_{4}$ ，试求线性方程组 $A X=\beta$ 的通解。

7．计算 $n$ 阶行列式

$$
D_{n}=\left|\begin{array}{ccccc}
d & b & \cdots & b & b \\
c & a & \cdots & b & b \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
c & c & \cdots & a & b \\
c & c & \cdots & c & a
\end{array}\right|
$$

8．设 $f(x)=x^{5}+m x+1$ ，求使 $f(x)$ 在有理数域 $\mathbb{Q}$ 上可约的整数 $m$ 。

9．设矩阵

$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
-1 & 2 & -3 & -2 \\
2 & 2 & -6 & -4 \\
-3 & -6 & 7 & 6 \\
-2 & -4 & 6 & 2
\end{array}\right)
$$

10．设 $n$ 阶矩阵 $A$ ，如果对于某个正整数 $m$ ，有 $A^{m}=0$ ，证明 $A^{n}=0$ 。

11．设 $A$ 正交，$\lambda$ 为 $A$ 的复特征值。证明：$|\lambda|=1$ 且 $\displaystyle \frac{1}{\lambda}$ 也为 $A$ 的特征值。

12．设实二次型 $f=\sum_{i, j=1}^{n} a_{i j} x_{i} x_{j}, g=\sum_{i, j=1}^{n} b_{i j} x_{i} x_{j}$ 是半正定的，且 $f$ 的秩等于 1 ，证明二次型

$$
h=\sum_{i, j=1}^{n} a_{i j} b_{i j} x_{i} x_{j}
$$

也是半正定的。

13．设 A 是 $n$ 维欧氏空间 V 的一个正交变换， W 是 $\mathbf{A}$ 的不变子空间。证明：
（1） W 中任何向量在 A 下的原像一定还在 W 中，
（2）$W$ 的正交补 $W^{\perp}$ 也是 $\mathbf{A}$ 的不变子空间。