📝 集美大学 2024年高等代数真题

1．二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+4 x_{4}^{2}+2 a\left(x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+x_{2} x_{3}\right)$ 正定，求 $a$ 的范围 $\_\_\_\_$ ．

2．$f\left(k_{1} \alpha+k_{2} \beta\right)=k_{1} f(\alpha)+k_{2} f(\beta)$ ，若 $f(2,-1)=2, f(-1,2)=8$ ，则 $f(1,1)=$ $\_\_\_\_$ ．

3．矩阵 $A$（忘记了）与矩阵 $B=\left(\begin{array}{ccc}-1 & & \\ & b & \\ & & -1\end{array}\right)$ 相似，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ，$b=$ $\_\_\_\_$ ．

4．求行列式 $D_{n}=\left|\begin{array}{cccc}1 & \cdots & 1 & 2-n \\ 1 & \cdots & 2-n & 1 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 2-n & \cdots & 1 & 1\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．

5．$A$ 为一复矩阵， 0 为 $A$ 的 $k$ 重特征根，则 $r\left(A^{k}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

6．$A 、 B$ 都为正交矩阵，若 $|A|+|B|=0$ ，则 $|A B|=$ $\_\_\_\_$ ．

1．（20 分）设 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 是 $n$ 个不同的数，而 $F(x)=\left(x-a_{1}\right)\left(x-a_{2}\right) \cdots\left(x-a_{n}\right)$ ，证明：
（1）．$\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \frac{F(x)}{\left(x-a_{i}\right) F^{\prime}\left(a_{i}\right)}=1$
（2）．任意多项式 $f(x)$ 用 $F(x)$ 除所得的余式为 $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \frac{f\left(a_{i}\right) F(x)}{\left(x-a_{i}\right) F^{\prime}\left(a_{i}\right)}$ ．

2．（1）设 $\sigma$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换，如果 $\sigma^{k-1} \alpha \neq 0$ ，但 $\sigma^{k} \alpha=0$ ，求证： $\alpha, \sigma \alpha, \cdots, \sigma^{k-1} \alpha(k>0)$ 线性无关．
（2）设 $f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=X^{T} A X$ 是实二次型，已知存在 $n$ 维向量 $X_{1}$ 和 $X_{2}$ 使得 $X_{1}^{T} A X_{1}<0$ ， $X_{2}^{T} A X_{2}>0$ ，证明：必存在 $n$ 维向量 $X_{0} \neq 0$ ，使得 $X_{0}^{T} A X_{0}=0$ ．

3．当 $a, b$ 为何值时 $A X=\beta$（4阶）无解？有唯一解？有无穷多解？并在有解时求出解．

4．（1）已知矩阵 $A$（3阶），求可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1} A P$ 为对角矩阵．
（2）设 $V_{1}$ 和 $V_{2}$ 分别是齐次方程组 $x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=0, x_{1}=x_{2}=\cdots=x$ ，

明：$P^{n}=V_{1} \oplus V_{2}$ 。

5．$W=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll}x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22}\end{array}\right) \right\rvert\, x_{11}+x_{22}=0\right\}$ 作线性变换 $\sigma$ 使得对于 $X \in W$ 有
$\sigma(X)=B^{T} X-X^{T} B$ ，其中 $B=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)$
（1）．求 $W$ 的一组基（7 分）
（2）．证明 $W$ 是 $\sigma$ 的不变子空间。（6分）
（3）．在 $W$ 中考虑 $\sigma$ ，求 $\sigma W$ 的一组基，使得 $\sigma_{W}$ 在此基下的矩阵为对角矩阵。

6．$A$ 为 6 阶方阵，$g(\lambda)=\left(\lambda^{2}-2 \lambda+2\right)^{2}(\lambda-1)$ 为 $A$ 的最小多项式，且 $A$ 的迹 $\operatorname{tr}(A)=6$ ．
（1）．求 $A$ 的特征多项式 $f(\lambda)$ ；（5 分）
（2）．求 $A$ 的若尔当标准型；（10 分）
（3）．求 $A$ 的伴随矩阵 $A^{*}$ 的若尔当标准型．（5 分）