极限 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow \infty} x \sin \displaystyle\frac{2 x}{x^{2}+1}=$ $\_\_\_\_$ ．
设二元函数 $z=x \mathrm{e}^{x+y}+(x+1) \ln (1+y)$ ，则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(1,0)}=$ $\_\_\_\_$ ．
设行向量组 $(2,1,1,1),(2,1, a, a),(3,2,1, a),(4,3,2,1)$ 线性相关，且 $a \neq 1$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．
从数 $1,2,3,4$ 中任取一个数，记为 $X$ ，再从 $1, \cdots, X$ 中任取一个数，记为 $Y$ ，则 $P\{Y=2\}=$ $\_\_\_\_$ ．
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率分布为 | $X$ | $Y$ | 0 | 1 | | :---: | :---: | :---: | :---: | | 0 | 0.4 | $a$ | | | 1 | $b$ | 0.1 | | 若随机事件 $\{X=0\}$ 与 $\{X+Y=1\}$ 相互独立，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ，$b=$ $\_\_\_\_$ ．
设 $I_{1}=\iint_{D} \cos \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} \sigma, I_{2}=\iint_{D} \cos \left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma, I_{3}=\iint_{D} \cos \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid \left.x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ ，则 $(\mathrm{C}) I_{2}\gt I_{1}\gt I_{3}$.
设 $a_{n}\gt 0, n=1,2, \cdots$ ，若 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散，$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_{n}$ 收敛，则下列结论正确的是
设 $f(x)=x \sin x+\cos x$ ，下列命题中正确的是
以下四个命题中，正确的是
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}$ 满足 $\boldsymbol{A}^{*}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ ，其中 $\boldsymbol{A}^{*}$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵， $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的转置矩阵。若 $a_{11}, a_{12}$ ， $a_{13}$ 为三个相等的正数，则 $a_{11}$ 为（ ）
设 $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ ，则 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}\right)$ 线性无关的充分必要条件是（ ）
（超纲题）设一批零件的长度服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ ，其中 $\mu, \sigma^{2}$ 均未知。现从中随机抽取 16 个零件，测得样本均值 $\bar{x}=20(\mathrm{~cm})$ ，样本标准差 $S=1(\mathrm{~cm})$ ，则 $\mu$ 的置信度为 0.90 的置信区间是（）
求 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0}\left(\displaystyle\frac{1+x}{1-\mathrm{e}^{-x}}-\displaystyle\frac{1}{x}\right)$ ．
设 $f(u)$ 具有二阶连续导数，且 $g(x, y)=f\left(\displaystyle\frac{y}{x}\right)+y f\left(\displaystyle\frac{x}{y}\right)$ ，求 $x^{2} \displaystyle\frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}-y^{2} \displaystyle\frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}}$ ．
计算二重积分 $\iint_{D}\left|x^{2}+y^{2}-1\right| \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
求幂级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\displaystyle\frac{1}{2 n+1}-1\right) x^{2 n}$ 在区间 $(-1,1)$ 内的和函数 $S(x)$ ．
设 $f(x), g(x)$ 在 $[0,1]$ 上的导数连续，且 $f(0)=0, f^{\prime}(x) \geqslant 0, g^{\prime}(x) \geqslant 0$ 。证明：对任何 $a \in[0,1]$ ，有
$$
\int_{0}^{a} g(x) f^{\prime}(x) \mathrm{d} x+\int_{0}^{1} f(x) g^{\prime}(x) \mathrm{d} x \geqslant f(a) g(1)
$$
已知齐次线性方程组
$$
\text { (i) }\left\{\begin{array} { l }
{ x _ { 1 } + 2 x _ { 2 } + 3 x _ { 3 } = 0 , } \\
{ 2 x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } + 5 x _ { 3 } = 0 , } \\
{ x _ { 1 } + x _ { 2 } + a x _ { 3 } = 0 }
\end{array} \quad \text { 和 } \quad \text { (ii) } \left\{\begin{array}{l}
x_{1}+b x_{2}+c x_{3}=0, \\
2 x_{1}+b^{2} x_{2}+(c+1) x_{3}=0
\end{array}\right.\right.
$$
同解，求 $a, b, c$ 的值．
设 $\boldsymbol{D}=\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{C} \\ \boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} & \boldsymbol{B}\end{array}\right)$ 为正定矩阵，其中 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 分别为 $m$ 阶，$n$ 阶对称矩阵， $\boldsymbol{C}$ 为 $m \times n$ 矩阵。 （I）计算 $\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{D} \boldsymbol{P}$ ，其中 $\boldsymbol{P}=\left(\begin{array}{cc}\boldsymbol{E}_{m} & -\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{C} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{E}_{n}\end{array}\right)$ ； （II）利用（I）的结果判断矩阵 $\boldsymbol{B}-\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{C}$ 是否为正定矩阵，并证明你的结论。
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$
f(x, y)= \begin{cases}1, & 0\lt x\lt 1,0\lt y\lt 2 x, ~ \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$
求：（I）$(X, Y)$ 的边缘概率密度 $f_{X}(x), f_{Y}(y)$ ；
（II）$Z=2 X-Y$ 的概率密度 $f_{Z}(z)$ ；
（III）$P\left\{\left.Y \leqslant \displaystyle\frac{1}{2} \right\rvert\, X \leqslant \displaystyle\frac{1}{2}\right\}$ ．
设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}(n\gt 2)$ 为来自总体 $N\left(0, \sigma^{2}\right)$ 的简单随机样本，其样本均值为 $\bar{X}$ ．记 $Y_{i}=X_{i}-\bar{X}$ ， $i=1,2, \cdots, n$ ．
（I）求 $Y_{i}$ 的方差 $D\left(Y_{i}\right), i=1,2, \cdots, n$ ；
（II）求 $Y_{1}$ 与 $Y_{n}$ 的协方差 $\operatorname{Cov}\left(Y_{1}, Y_{n}\right)$ ；
（III）（超纲题）若 $c\left(Y_{1}+Y_{n}\right)^{2}$ 是 $\sigma^{2}$ 的无偏估计量，求常数 $c$ 。（无偏估计为超纲概念，可改为＂若 $E\left(c\left(Y_{1}+Y_{n}\right)^{2}\right)=\sigma^{2}$ ，求常数 $\left.c . "\right)$
=X_{1}-\bar{X}=X_{1}-\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}=\left(1-\frac{1}{n}\right) X_{1}-\frac{1}{n} X_{2}-\cdots-\frac{1}{n} X_{n}$ ，因为 $X_{i} \sim N\left(0, \sigma^{2}\right)(1 \leqslant i \leqslant n)$ 且 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 相互独立，所以 $Y_{1}$ 服从正态分布，又因为 $E\left(Y_{1}\right)=0, D\left(Y_{1}\right)=\left(1-\frac{1}{n}\right)^{2} D\left(X_{1}\right)+\frac{1}{n^{2}} D\left(X_{2}\right)+\cdots+\frac{1}{n^{2}} D\left(X_{n}\right)=\frac{n-1}{n} \sigma^{2}$ ，所以 $Y_{1} \sim N\left(0, \frac{n-1}{n} \sigma^{2}\right)$ ，同理 $Y_{i} \sim N\left(0, \frac{n-1}{n} \sigma^{2}\right)(1 \leqslant i \leqslant n)$ ，
于是 $D\left(Y_{i}\right)=\frac{n-1}{n} \sigma^{2}(1 \leqslant i \leqslant n)$ ．
方法二 因为 $X_{i} \sim N\left(0, \sigma^{2}\right)$ ，所以 $E\left(X_{i}\right)=0, D\left(X_{i}\right)=\sigma^{2}(i=1,2, \cdots, n)$ ，
$E(\bar{X})=\displaystyle\frac{1}{n} \displaystyle\sum_{i=1}^{n} E\left(X_{i}\right)=0, D(\bar{X})=\displaystyle\frac{1}{n^{2}} \displaystyle\sum_{i=1}^{n} D\left(X_{i}\right)=\displaystyle\frac{\sigma^{2}}{n}, E\left(\bar{X}^{2}\right)=D(\bar{X})+[E(\bar{X})]^{2}=\displaystyle\frac{\sigma^{2}}{n}$ ．
$E\left(Y_{i}\right)=E\left(X_{i}-\bar{X}\right)=E\left(X_{i}\right)-E(\bar{X})=0$,
$D\left(Y_{i}\right)=E\left(Y_{i}^{2}\right)-\left(E Y_{i}\right)^{2}=E\left(Y_{i}^{2}\right)=E\left(X_{i}^{2}-2 X_{i} \bar{X}+\bar{X}^{2}\right)$
$$
\begin{aligned}
& =E\left(X_{i}^{2}\right)-\frac{2}{n} E\left[X_{i}\left(X_{1}+\cdots+X_{n}\right)\right]+E\left(\bar{X}^{2}\right) \\
& =D\left(X_{i}\right)-\left[E\left(X_{i}\right)\right]^{2}-\frac{2}{n} E\left(X_{i}^{2}\right)+\frac{\sigma^{2}}{n}=\sigma^{2}-\frac{2}{n} \sigma^{2}+\frac{\sigma^{2}}{n}=\left(1-\frac{1}{n}\right) \sigma^{2} .
\end{aligned}
$$
（II） $\operatorname{Cov}\left(Y_{1}, Y_{n}\right)=\operatorname{Cov}\left(X_{1}-\bar{X}, X_{n}-\bar{X}\right)$