根据你提供的开头信息，这是一道2005年考研数学二第1题填空题，原题只有这一问，没有其他小问。因此补全后的完整题目如下：
设 $y=(1+\sin x)^{x}$ ，则 $\left.\mathrm{d} y\right|_{x=\pi}=$ $\_\_\_\_$ ．
曲线 $y=\displaystyle\frac{(1+x)^{\displaystyle\frac{3}{2}}}{\sqrt{x}}$ 的斜渐近线方程为 $\_\_\_\_$ ．
$\displaystyle\int_{0}^{1} \displaystyle\frac{x \mathrm{~d} x}{\left(2-x^{2}\right) \sqrt{1-x^{2}}}=$ $\_\_\_\_$ .
微分方程 $x y^{\prime}+2 y=x \ln x$ 满足 $y(1)=-\displaystyle\frac{1}{9}$ 的解为 $\_\_\_\_$ ．
当 $x \rightarrow 0$ 时，$\alpha(x)=k x^{2}$ 与 $\beta(x)=\sqrt{1+x \arcsin x}-\sqrt{\cos x}$ 是等价无穷小量，则 $k=$ $\_\_\_\_$ ．
设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 均为3维列向量，记矩阵 $$ \boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right), \quad \boldsymbol{B}=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{1}+2 \boldsymbol{\alpha}_{2}+4 \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{1}+3 \boldsymbol{\alpha}_{2}+9 \boldsymbol{\alpha}_{3}\right) . $$ 如果 $|\boldsymbol{A}|=1$ ，那么 $|\boldsymbol{B}|=$ $\_\_\_\_$ ．
设函数 $f(x)=\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1+|x|^{3 n}}$ ，则 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内（ ）
设 $F(x)$ 是连续函数 $f(x)$ 的一个原函数，＂$M \Leftrightarrow N$＂表示＂$M$ 的充分必要条件是 $N$＂，则必有（ ） （A）$F(x)$ 是偶函数 $\Leftrightarrow f(x)$ 是奇函数。
设函数 $y=y(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=t^{2}+2 t, \\ y=\ln (1+t)\end{array}\right.$ 确定，则曲线 $y=y(x)$ 在 $x=3$ 处的法线与 $x$ 轴交点的横坐标是
设区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 4, x \geqslant 0, y \geqslant 0\right\}, f(x)$ 为 $D$ 上的正值连续函数，$a, b$ 为常数，则 $\iint_{D} \displaystyle\frac{a \sqrt{f(x)}+b \sqrt{f(y)}}{\sqrt{f(x)}+\sqrt{f(y)}} \mathrm{d} \sigma=(\quad)$
设函数 $u(x, y)=\varphi(x+y)+\varphi(x-y)+\displaystyle\int_{x-y}^{x+y} \psi(t) \mathrm{d} t$ ，其中函数 $\varphi$ 具有二阶导数，$\psi$ 具有一阶导数，则必有
设函数 $f(x)=\displaystyle\frac{1}{\mathrm{e}^{\displaystyle\frac{x}{x-1}}-1}$ ，则（ ）
设 $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ ，则 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}\right)$ 线性无关的充分必要条件是（ ）
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n(n \geqslant 2)$ 阶可逆矩阵，交换 $\boldsymbol{A}$ 的第 1 行与第 2 行得矩阵 $\boldsymbol{B}, ~ \boldsymbol{A}^{*}, ~ \boldsymbol{B}^{*}$ 分别为 $\boldsymbol{A}, ~ \boldsymbol{B}$ 的伴随矩阵，则（ ）
}
设函数 $f(x)$ 连续，且 $f(0) \neq 0$ ，求极限 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\displaystyle\int_{0}^{x}(x-t) f(t) \mathrm{d} t}{x \displaystyle\int_{0}^{x} f(x-t) \mathrm{d} t}$ ．
如图，$C_{1}$ 和 $C_{2}$ 分别是 $y=\displaystyle\frac{1}{2}\left(1+\mathrm{e}^{x}\right)$ 和 $y=\mathrm{e}^{x}$ 的图像，过点 $(0,1)$的曲线 $C_{3}$ 是一单调增函数的图像，过 $C_{2}$ 上任一点 $M(x, y)$ 分别作垂直于 $x$ 轴和 $y$ 轴的直线 $l_{x}$ 和 $l_{y}$ 。记 $C_{1}, C_{2}$ 与 $l_{x}$ 所围图形的面积为 $S_{1}(x) ; ~ C_{2}, C_{3}$ 与 $l_{y}$ 所围图形的面积为 $S_{2}(y)$ 。如果总有 $S_{1}(x)= S_{2}(y)$ ，求曲线 $C_{3}$ 的方程 $x=\varphi(y)$ 。
如图，曲线 $C$ 的方程为 $y=f(x)$ ，点 $(3,2)$ 是它的一个拐点，直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 分别是曲线 $C$ 在点 $(0,0)$ 与 $(3,2)$ 处的切线，其交点为 $(2,4)$ 。设函数 $f(x)$ 具有三阶连续导数，计算定积分
$$ \int_{0}^{3}\left(x^{2}+x\right) f^{\prime \prime \prime}(x) \mathrm{d} x $$
用变量代换 $x=\cos t(0\lt t\lt\pi)$ 化简微分方程 $\left(1-x^{2}\right) y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+y=0$ ，并求其满足 $\left.y\right|_{x=0}=1$ ， $\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=2$ 的特解．
已知函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $f(0)=0, f(1)=1$ 。证明： （ I ）存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $f(\xi)=1-\xi$ ； （II）存在两个不同的点 $\eta, \zeta \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime}(\eta) f^{\prime}(\zeta)=1$ 。
已知函数 $z=f(x, y)$ 的全微分 $\mathrm{d} z=2 x \mathrm{~d} x-2 y \mathrm{~d} y$ ，并且 $f(1,1)=2$ ．求 $f(x, y)$ 在椭圆域 $D=\left\{(x, y) \left\lvert\, x^{2}+\displaystyle\frac{y^{2}}{4} \leqslant 1\right.\right\}$ 上的最大值和最小值．
计算二重积分 $\iint_{D}\left|x^{2}+y^{2}-1\right| \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
确定常数 $a$ ，使向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,1, a)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1, a, 1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(a, 1,1)^{\mathrm{T}}$ 可由向量组 $\boldsymbol{\beta}_{1}= (1,1, a)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_{2}=(-2, a, 4)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_{3}=(-2, a, a)^{\mathrm{T}}$ 线性表示，但向量组 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}$ 不能由向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示。
已知3阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的第一行是 $(a, b, c), a, b, c$ 不全为零，矩阵 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & k\end{array}\right)$（ $k$ 为常数），且 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$ ，求线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的通解．
\boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$ 得 $r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{B}) \leqslant 3$ ，因为 $\boldsymbol{A}$ 为非零矩阵，所以 $r(\boldsymbol{A}) \geqslant 1$ ．
当 $k \neq 9$ 时，由 $r(\boldsymbol{B})=2$ 得 $r(\boldsymbol{A})=1$ 。
因为 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$ ，所以 $\boldsymbol{B}$ 的列向量为方程组 $\boldsymbol{A X}=\mathbf{0}$ 的解，于是方程组 $\boldsymbol{A X}=\mathbf{0}$ 的通解为
$$
\boldsymbol{X}=C_{1}\left(\begin{array}{l}
1 \\
2 \\
3
\end{array}\right)+C_{2}\left(\begin{array}{l}
3 \\
6 \\
k
\end{array}\right)\left(C_{1}, C_{2} \text { 为任意常数 }\right) .
$$
当 $k=9$ 时，$r(\boldsymbol{B})=1$ ，则 $1 \leqslant r(\boldsymbol{A}) \leqslant 2$ ．
当 $r(\boldsymbol{A})=2$ 时，因为 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$ ，所以 $\boldsymbol{B}$ 的列向量为 $\boldsymbol{A X}=\mathbf{0}$ 的解，于是方程组 $\boldsymbol{A X}=\mathbf{0}$ 的通解为 $\boldsymbol{X}=C\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)$（ $C$ 为任意常数）．
当 $r(\boldsymbol{A})=1$ 时，不妨设 $a \neq 0$ ，由 $\boldsymbol{A} \rightarrow\left(\begin{array}{lll}a & b & c \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{lll}1 & \displaystyle\frac{b}{a} & \displaystyle\frac{c}{a} \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，得方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 的通解为 $\boldsymbol{X}=C_{1}\left(\begin{array}{c}-\displaystyle\frac{b}{a} \\ 1 \\ 0\end{array}\right)+C_{2}\left(\begin{array}{c}-\displaystyle\frac{c}{a} \\ 0 \\ 1\end{array}\right)\left(C_{1}, C_{2}\right.$ 为任意常数 $)$ 。
方法点评：设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 分别为 $m \times n$ 与 $n \times s$ 两个矩阵，对 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$ 有两种解读：
$(1) r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{B}) \leqslant n ;$
（2）矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的列向量为齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 的一组解．