（1）当 $x \rightarrow 0$ 时，$\alpha(x), \beta(x)$ 是非零无穷小量，则以下四命题 （1）若 $\alpha(x) \sim \beta(x)$ ，则 $\alpha^2(x) \sim \beta^2(x)$ ． （2）若 $\alpha^2(x) \sim \beta^2(x)$ ，则 $\alpha(x) \sim \beta(x)$ ． （3）若 $\alpha(x) \sim \beta(x)$ ，则 $\alpha(x)-\beta(x)=o(\alpha(x))$ ． （4）若 $\alpha(x)-\beta(x)=o(\alpha(x))$ ，则 $\alpha(x) \sim \beta(x)$ ． 真命题的序号是
$\displaystyle\int_{0}^{2} dy \displaystyle\int_{y}^{2} \displaystyle\frac{y}{\sqrt{1+x^3}} dx=$
（3）设函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处有 2 阶导数，则
设函数 $F(x, y)=\displaystyle\int_{0}^{x-y}(x-y-t) f(t) dt$ ，则
设 $p$ 为常数，若反常积分 $\displaystyle\int_{0}^{1} \displaystyle\frac{\ln x}{x^{p}(1-x)^{1-p}} d x$ 收敛，则 $p$ 的取值范围是（ ）
已知数列 $\{x_n\}$ ，其中 $-\displaystyle\frac{\pi}{2} \leq x_n \leq \displaystyle\frac{\pi}{2}$ ，则
已知 $I_{1}=\displaystyle\int_{0}^{1} \displaystyle\frac{x}{2(1+\cos x)} d x, I_{2}=\displaystyle\int_{0}^{1} \displaystyle\frac{\ln (1+x)}{1+\cos x} d x, I_{3}=\displaystyle\int_{0}^{1} \displaystyle\frac{2 x}{1+\sin x} d x$ ，则（ ）
设 $A$ 为 3 阶矩阵，$\L\lambda=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则 $A$ 的特征值为 $1,-1,0$ 的充分必要条件是（ ）
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^{2} \\ 1 & b & b^{2}\end{array}\right), b=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 4\end{array}\right)$ 则线性方程组 $A x=b$ 解的情况为（ ）
设 $\alpha_{1}=\left(\begin{array}{l}\lambda \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{l}1 \\ \lambda \\ 1\end{array}\right), \alpha_{3}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ \lambda\end{array}\right), \alpha_{4}=\left(\begin{array}{c}1 \\ \lambda \\ \lambda^{2}\end{array}\right)$ ，若向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 与 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{4}$ 等价，则 $\lambda$的取值范围是（ ）
$\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0}\left(\displaystyle\frac{1+e^{x}}{2}\right)^{\cot x}=$ $\_\_\_\_$ ．
$\displaystyle\int_{0}^{1} \displaystyle\frac{2 x+3}{x^{2}-x+1} d x=$ $\_\_\_\_$ ．
微分方程 $y^{\prime \prime \prime}-2 y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}=0$ 的通解 $y(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
已知曲线 $L$ 的极坐标方程为 $r=\sin 3 \theta\left(0 \leq \theta \leq \displaystyle\frac{\pi}{3}\right)$ ，则 $L$ 围成有界区域的面积为 $\_\_\_\_$ ．
设 $A$ 为 3 阶矩阵，交换 $A$ 的第 2 行和第 3 行，再将第 2 列的 -1 倍加到第 1 列，得到矩阵 $\left(\begin{array}{ccc}-2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则 $A^{-1}$ 的迹tr $\left(A^{-1}\right)=$ $\_\_\_\_$
已知函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处可导且 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{f\left(e^{x^{2}}\right)-3 f\left(1+\sin ^{2} x\right)}{x^{2}}=2$ ，求 $f^{\prime}(1)$ ．
设函数 $y(x)$ 是微分方程 $2 x y^{\prime}-4 y=2 \ln x-1$ 满足条件 $y(1)=\displaystyle\frac{1}{4}$ 的解，求曲线 $y=y(x)(1 \leq x \leq e)$ 的孤长．
已知平面区域 $D=\left\{(x, y) \mid y-2 \leq x \leq \sqrt{4-y^{2}}, 0 \leq y \leq 2\right\}$ ，计算 $I=\iint_{D} \displaystyle\frac{(x-y)^{2}}{x^{2}+y^{2}} d x d y$ ．
已知可微函数 $f(u, v)$ 满足 $\displaystyle\frac{\partial f(u, v)}{\partial u}-\displaystyle\frac{\partial f(u, v)}{\partial v}=2(u-v) e^{-(u+v)}$ 且 $f(u, 0)=u^{2} e^{-u}$ ． （I）记 $g(x, y)=f(x, y-x)$ ，求 $\displaystyle\frac{\partial g(x, y)}{\partial x}$ ； （II）求 $f(u, v)$ 的表达式和极值．
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内具有2阶连续导数．证明：$f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ 的充分必要条件是：对不同的实数 $a, b, f\left(\displaystyle\frac{a+b}{2}\right) \leqslant \displaystyle\frac{1}{b-a} \displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$.
已知二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=3 x_{1}^{2}+4 x_{2}^{2}+3 x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{3}$ ， （I）求正交变换 $x=C y$ 将 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 化为标准形； （II）证明 $\min _{x \neq 0} \displaystyle\frac{f(x)}{x^{T} x}=2$ ．