二元函数的泰勒公式

### 【基础篇】第12题（解答题） 12．（1）将 $\sin x$ 在 $x=0$ 处展开成一阶带拉格朗日余项的泰勒公式； （2）证明 $\displaystyle \left|\frac{\sin x}{x}-1\right| \leqslant \frac{1}{2}|x|, x \neq 0$ 。

### 【基础篇】第16题（填空题） 16．设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵，满足 $\boldsymbol{A}^{2}=\boldsymbol{A}$ ，则 $(\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E})^{3}-3 \boldsymbol{A}=$ $\_\_\_\_$ ．

### 【基础篇】第17题（填空题） 17．$\displaystyle f(x)=\frac{\tan x}{1+x^{2}}$ 在 $x=0$ 处的 3 次泰勒多项式为 $\_\_\_\_$ ．

### 【强化篇】第22题（填空题） 22．若二次多项式 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内与 $g(x)=\sec x$ 的差为 $x^{2}$ 的高阶无穷小，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$。

### 【强化篇】第23题（选择题） 23．当 $n \rightarrow \infty$ 时， $\displaystyle \mathrm{e}-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$ 与 $\displaystyle \frac{c}{n^{k}}$ 为等价无穷小，则 ． $\displaystyle (\mathrm{A})_{c}=\frac{\mathrm{c}}{3}, k \approx 2$ （B）$\displaystyle c=\frac{c}{2}, k=2$ （C）$\displaystyle c=\frac{c}{3}, k=1$ （D）$\displaystyle c=\frac{\mathrm{e}}{2}, k=1$

### 【强化篇】第30题（选择题） 30．当 $x \rightarrow 0$ 时，$x-\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right) \sim a x^{b}$ ，则 $a, b$ 的值分别是 ． （A）$\displaystyle \frac{1}{6}, 3$ （B）$\displaystyle \frac{1}{6}, 2$ （C）$\displaystyle \frac{1}{3}, 2$ （D）$\displaystyle \frac{1}{3}, 3$

### 【强化篇】第33题（选择题） 33．设函数 $\displaystyle f(x)=\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$ 在 $x=0$ 处的 2 次泰勒多项式为 $a+b x+c x^{2}$ ，则 ）． （A）$a=1, b=1, c=1$ （B）$\displaystyle a=1, b=1, c=\frac{1}{2}$ （C）$\displaystyle a=0, b=-1, c=\frac{1}{2}$ （D）$a=0, b=-1, c=1$

### 【强化篇】第4题（选择题） 4．二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}+3 x_{2}+a x_{3}\right)\left(x_{1}+5 x_{2}+b x_{3}\right)$ 的正惯性指数 $p(\quad)$ 。 （A）与 $a$ 有关，与 $b$ 无关 （B）与 $a$ 无关，与 $b$ 有关 （C）与 $a, b$ 均有关 （D）与 $a, b$ 均无关

### 【强化篇】第41题（选择题） 41．设函数 $\displaystyle f(x)=\frac{x}{\cos x}$ 在 $x=0$ 处的 3 次泰勒多项式为 $a x+b x^{2}+c x^{3}$ ，则（）。 （A）$\displaystyle a=1, b=0, c=\frac{1}{2}$ （B）$\displaystyle a=0, b=1, c=\frac{1}{2}$ （C）$\displaystyle a=0, b=\frac{1}{2}, c=1$ （D）$\displaystyle a=\frac{1}{2}, b=1, c=0$

## 第634题 (高等数学 - 选择题) 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{1-\cos x}{x^{2}}, & x \neq 0 \\ \frac{1}{2}, & x=0\end{array}\right.$ ，则 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处六阶导数 $f^{(6)}(0)$ （A）不存在． （B）等于 $\displaystyle -\frac{1}{6}$ ． （C）等于 $\displaystyle \frac{1}{56}$ ． （D）等于 $\displaystyle -\frac{1}{56}$ ．