向量在基下的坐标

### 第159题 设 $p(x), q(x), f(x)$ 均是已知的连续函数，$y_{1}(x), y_{2}(x), y_{3}(x)$ 是 $y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+ q(x) y=f(x)$ 的 3 个线性无关的解，$C_{1}$ 与 $C_{2}$ 为任意常数，则方程的通解为 （A）$\left(C_{1}-C_{2}\right) y_{1}+\left(C_{2}+C_{1}\right) y_{2}+\left(1-C_{2}\right) y_{3}$. （B）$\left(C_{1}-C_{2}\right) y_{1}+\left(C_{2}-C_{1}\right) y_{2}+\left(C_{1}+C_{2}\right) y_{3}$ ． （C） $2 C_{1} y_{1}+\left(C_{2}-C_{1}\right) y_{2}+\left(1-C_{1}-C_{2}\right) y_{3}$ ． （D）$C_{1} y_{1}+\left(C_{2}-C_{1}\right) y_{2}+\left(1+C_{1}-C_{2}\right) y_{3}$ ．

### 第239题 设 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}+\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}$ ，其中 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 是 $n$ 维列向量，且 $\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta}=3$ ，则 $(\boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{E})^{-1}=$ $\_\_\_\_$ ． 速衩谷䞠时问 (2.) 管题 评佔 ## 热练 $\_\_\_\_$有点难 □ ## s 收错 q至记

### 第241题 设 $n(n>2)$ 维向量 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 满足 $2 \boldsymbol{\alpha}_{1}-\boldsymbol{\alpha}_{2}+3 \boldsymbol{\alpha}_{3}=\mathbf{0}$ ， $\boldsymbol{\beta}$ 是任意 $n$ 维向量，若 $\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}_{1}$ ， $\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, a \boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性相关，则 $a=$ $\_\_\_\_$。 ##

### 第242题 已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 是向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,1,-1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(2,4, t-6)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(2,6,6)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{4}=(t$ ， $14, t-4)^{\mathrm{T}}$ 的极大线性无关组，则 $t=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第243题 设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ ，则 $\boldsymbol{A}^{n} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的通解为 $\_\_\_\_$ ． 建设谷题时问 $\leqslant 5 \mathrm{~min}$

### 第280题 （2010，数农）设向量组 I： $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{r}$ 可由向量组 II： $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{s}$ 线性表示，下列命题中正确的是 （A）若向量组 I 线性无关，则 $r \leqslant s$ ． （B）若向量组 I 线性相关，则 $r>s$ ． （C）若向量组 II 线性无关，则 $r \leqslant s$ ． （D）若向量组 II 线性相关，则 $r>s$ ． ## 解答题

### 第282题 设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}$ 均为三维向量，现有四个命题 （1）若 $\boldsymbol{\beta}$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示，则 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性相关。 （2）若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性相关，则 $\boldsymbol{\beta}$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示． （3）若 $\boldsymbol{\beta}$ 能由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示，则 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关。 （4）若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关，则 $\boldsymbol{\beta}$ 能由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示。 以上的命题正确的是 （A）（1）（2）． （B）（3）（4）． （C）（1）（4）． （D）（2）（3）． 建议荅题时问 有点难不会

### 第292题 设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}, \boldsymbol{\alpha}_{5}$ 都是四维列向量， $\boldsymbol{A}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}\right]$ ，非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\alpha}_{5}$ 有通解 $k \boldsymbol{\xi}+\boldsymbol{\eta}=k(1,-1,2,0)^{\mathrm{T}}+(2,1,0,1)^{\mathrm{T}}$ ，则下列关系式中不正确的是 （A） $2 \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{4}-\boldsymbol{\alpha}_{5}=\mathbf{0}$ ． （B） $\boldsymbol{\alpha}_{5}-\boldsymbol{\alpha}_{4}-2 \boldsymbol{\alpha}_{3}-3 \boldsymbol{\alpha}_{1}=\mathbf{0}$ ． （C） $\boldsymbol{\alpha}_{1}-\boldsymbol{\alpha}_{2}+2 \boldsymbol{\alpha}_{3}-\boldsymbol{\alpha}_{5}=\mathbf{0}$ ． （D） $\boldsymbol{\alpha}_{5}-\boldsymbol{\alpha}_{4}+4 \boldsymbol{\alpha}_{3}-3 \boldsymbol{\alpha}_{2}=\mathbf{0}$ ． ## 建衩荅题时间 $\leqslant 3 \mathrm{~min}$

### 第320题 已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{t}$ 是齐次方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系， $\boldsymbol{\beta}$ 不是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解，证明 $\boldsymbol{\beta}+ \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}_{t}$ 线性无关。 建仪答题时间 $\leqslant 12 \mathrm{~min}$