7.1 多元函数的极限与连续

1．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{x^{2} y^{2}}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{x^{2}+y^{2}}$ 。
（3） $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}}(x+y) \ln \left(x^{2}+y^{2}\right)$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ x \rightarrow 0}}\left(|x|^{\alpha}+|y|^{\alpha}\right) \ln \left(x^{2}+y^{2}\right), 0<\alpha<1$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{\sin \left(x^{3}+y^{3}\right)}{x^{2}+y^{2}}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\ y \rightarrow a}} \frac{\sqrt{|x-y|}}{x^{2}+y^{2}} \sin \left(x^{2}+y^{2}\right)$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{x^{2}+y^{2}}{|x|+|y|}$ ．（南京师大2007，广西师大2013（用定义））
（8） $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\ y \rightarrow a}}\left(\cos \frac{y}{x}\right)^{\frac{x^{3}}{x+y^{3}}}$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow+\infty \\ y \rightarrow 0^{-}}}\left(x^{2}+\frac{1}{y^{2}}\right) \mathrm{e}^{-\sqrt{x+\frac{1}{y}}}$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow+\infty \\ y \rightarrow a}}\left(1+\frac{1}{x y}\right)^{\frac{x^{2}}{x+y}},(a>0)$ ．
（11） $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow+\infty \\ y \rightarrow+\infty}}\left(\frac{x y}{x^{2}+y^{2}}\right)^{x^{2}}$ ．

2．设二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}1,(x, y) \in\left\{(x, y) \in \mathbf{R}^{2} \mid 0<y<x^{2}\right\}, \\ 0,(x, y) \in \mathbf{R}^{2}-\left\{(x, y) \in \mathbf{R}^{2} \mid 0<y<x^{2}\right\},\end{array}\right.$ 证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 极限不存在。

3．证明或讨论下列函数的连续性．
（1）设二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sin (x y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$ 讨论 $\displaystyle f(x, y)$ 的连续性．
（2）设二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{3}-y^{3}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$ 讨论 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处的连续性．
（3）设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\ln (1+x y)}{x}, x \neq 0, \\ y, x=0,\end{array}\right.$ 证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在其定义域上是连续的．
（4）设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{e}^{-x y} \frac{\sin x}{x}, x \neq 0, \\ 1, x=0,\end{array}\right.$ 证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在其定义域上是连续的．

4．证明下列结论．
（1）证明：函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2} y}{x^{4}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ 分别对每一个变量 $\displaystyle x$ 和 $\displaystyle y$ 是连续的，但不是关于二变量的连续函数．
（2）证明二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{2 x y}{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq(0,0) \\ 0,(x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 分别对每一个变量连续，但关于二元变量不连续．

5．设 $\displaystyle f(x, y)$ 是定义在 $\displaystyle D=[a, b] \times[c, d]$ 上的实值连续函数，试证明：$\displaystyle g(x)=\sup \{f(x, y): c \leqslant y \leqslant d\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续．

6．证明下列各题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在半平面 $\displaystyle x>0$ 内连续，对任意固定的 $\displaystyle y=y_{0}$ ，极限 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0^{+} \\ y \rightarrow y_{0}}} f(x, y)=\varphi\left(y_{0}\right)$ 存在，现补充定义 $\displaystyle f(0, y)=\varphi(y)$ 。证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在半平面 $\displaystyle x \geqslant 0$ 上连续．
（2）设函数 $\displaystyle z=f(x, y)$ 在矩形闭域 $\displaystyle [a, b] \times[c, d]$ 上连续，$\displaystyle x=\varphi(t)$ 为定义在 $\displaystyle [\alpha, \beta]$ 上其值含于 $\displaystyle [a, b]$ 内的可微函数。令 $\displaystyle F(t, y)=\int_{a}^{\varphi(t)} f(x, y) \mathrm{d} x,(t, y) \in[\alpha, \beta] \times[c, d]$ ．证明：$\displaystyle F$ 在 $\displaystyle [\alpha, \beta] \times[c, d]$ 上连续．

7．证明下列结论．
（1）设二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$ 上有定义，对 $\displaystyle y$ 连续，对 $\displaystyle x$ 关于 $\displaystyle y$ 一致连续，证明 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$ 内连续．
（2）若二元函数 $\displaystyle z=f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$ 上的两个偏导数 $\displaystyle f_{x}^{\prime}(x, y), f_{y}^{\prime}(x, y)$ 有界，则 $\displaystyle z=f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$内连续．
（3）设二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}<1\right\}$ 上有定义，对自变量 $\displaystyle x$ 连续，对 $\displaystyle y$ 有有界偏导数，且 $\displaystyle \left|f_{y}(x, y)\right| \leqslant 1$ ，证明 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$ 内连续．
（4）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle G=\left\{(x, y): x^{2}+y^{2}<1\right\}$ 上有定义，若 $\displaystyle f(x, 0)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续，且 $\displaystyle f_{y}(x, y)$ 在 $\displaystyle G$上有界，证明 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 连续．
（5）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D \subset \mathbf{R}^{2}$ 上有定义，对自变量 $\displaystyle x$ 连续，对 $\displaystyle y$ 满足 lipschitz 条件，证明 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$ 内连续．

8．设 $\displaystyle f(x, y)$ 关于 $\displaystyle x, y$ 均是一元连续函数，举例说明 $\displaystyle f(x, y)$ 可以不是二元连续函数．证明：当 $\displaystyle f(x, y)$ 关于 $\displaystyle x$ 单调时，$\displaystyle f(x, y)$ 是二元连续函数．

9．设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \in \mathbf{R}^{2} \mid x \geqslant 0, y \geqslant 0\right\}$ 上连续，当 $\displaystyle (x, y) \rightarrow+\infty$ 时，$\displaystyle f(x, y)$ 的极限存在．证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$ 上是一致连续的．

10．证明 $\displaystyle f(x, y, z)=\frac{1}{1-x y z}$ 在 $\displaystyle [0,1) \times[0,1) \times[0,1)$ 上是不一致连续的．

11．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 上的函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}<1\right\}$ 内连续，且 $\displaystyle \forall(u, v) \in \partial D$ ，存在 $\displaystyle \delta>0$ ，使得 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \left\{(x, y) \mid(x-u)^{2}+(y-v)^{2}<\delta^{2}\right\}$ 内有界。证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \bar{D}=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ 上是有界的．
（2）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在闭矩形 $\displaystyle [0,1 ; 0,1]$ 上有意义，若对于 $\displaystyle \forall x_{0} \in[0,1], f(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, 0\right)$ 连续，证明 $\displaystyle \exists \delta>0$ ，使 $\displaystyle f(x, y)$ 在矩形 $\displaystyle [0,1 ; 0, \delta]$ 上有界．

12．证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在有界开区域 $\displaystyle D$ 内一致连续，则它在 $\displaystyle D$ 内有界．（郑州大学2011（ $\displaystyle D$ 为单位圆），广西民大2007）

13．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在有界闭域 $\displaystyle D$ 上连续，用致密性定理证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$ 上一致连续．
（2）设 $\displaystyle D \subset \mathbf{R}^{2}$ 是有界闭集，$\displaystyle f(x, y)$ 是 $\displaystyle D$ 上的连续函数，证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$ 上有界，且一定取到最大值和最小值．