📝 北京工业大学 2014年高等代数真题
第0题
1．如果实方阵 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right)$ ，则 $A^{n}=$ $\_\_\_\_$
第0题
2．已知三阶矩阵 $A$ 的特征值是 $x^{3}=1$ 的三个不同根，则 $|A+E|=$ $\_\_\_\_$
第0题
3．二次型 $\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ -4 & 2 & 2 \\ -1 & 2 a & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)$ 的秩 $=2$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$
第0题
4．设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), T=\{B \mid A B=B A\}$ ，其中 $B$ 为 3 阶实方阵，$T$ 关于矩阵加法和数乘构成 $R$－线性空间，则 $T$ 的一组基为 $\_\_\_\_$
第0题
5．设 $D_{n}=\left|a_{i j}\right|$ 是 $n$ 阶行列式，其中 $a_{i i}=2, a_{i, i+1}=a_{i+1, i}=-1, i=1,2, \cdots, n-1$ ，则 $D_{n}=$ $\_\_\_\_$ （写出具体表达式）
第0题
1．设 $A, P$ 均为3阶矩阵，且 $P^{T} A P=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ，若 $P=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ ，
$Q=\left(\alpha_{1}, \alpha_{1}+\alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ ，则 $Q^{T} A Q=($
（A）$\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
（B）$\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
（C）$\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
（D）$\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
$Q=\left(\alpha_{1}, \alpha_{1}+\alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ ，则 $Q^{T} A Q=($
（A）$\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
（B）$\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
（C）$\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
（D）$\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
第0题
2．秩为 $r$ 的 $n$ 阶方阵 $A$ 满足 $A^{2}=2 A$ ，则行列式 $|A+E|=$（
（A）$(-1)^{r} 3^{r}$
（B） $3^{r}$
（C）$(-1)^{r} 2^{r}$
（D） $2^{r}$
（A）$(-1)^{r} 3^{r}$
（B） $3^{r}$
（C）$(-1)^{r} 2^{r}$
（D） $2^{r}$
第0题
3．设 $A=\left(\begin{array}{lll}a & b & b \\ b & a & b \\ b & b & a\end{array}\right)$ ，且 $A$ 的伴随矩阵 $A^{*}$ 的秩是 1 ，则 $a$ 和 $b$ 的关系是
（A）$a=b$
（B）$a \neq b$ 且 $a \neq 2 b$
（C）$a \neq b$ 且 $a+2 b \neq 0$
（D）$a+2 b=0$
（A）$a=b$
（B）$a \neq b$ 且 $a \neq 2 b$
（C）$a \neq b$ 且 $a+2 b \neq 0$
（D）$a+2 b=0$
第0题
4．向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性无关，而 $\alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 线性相关，则下面论断正确的是
（A）$\alpha_{1}$ 能被 $\alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 线性表出
（B）$\alpha_{1}$ 不能被 $\alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 线性表出
（C）$\alpha_{1}$ 能被 $\alpha_{2}, \alpha_{4}$ 线性表出
（D）$\alpha_{4}$ 不能被 $\alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表出
（A）$\alpha_{1}$ 能被 $\alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 线性表出
（B）$\alpha_{1}$ 不能被 $\alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 线性表出
（C）$\alpha_{1}$ 能被 $\alpha_{2}, \alpha_{4}$ 线性表出
（D）$\alpha_{4}$ 不能被 $\alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表出
第0题
5．设 $V, U$ 是 $n$ 维，$m$ 维向量空间 $(m \neq n), \varphi: V \rightarrow U$ 的线性映射，则（
（A） $\operatorname{dim} \operatorname{ker} \varphi+\operatorname{dim} \operatorname{Im} \varphi=n$
（B） $\operatorname{dim} \operatorname{ker} \varphi+\operatorname{dim} \operatorname{Im} \varphi=m$
（C） $\operatorname{dim} \operatorname{ker} \varphi+\operatorname{dim} \operatorname{Im} \varphi=|m-n|$
（D） $\operatorname{dim} \operatorname{ker} \varphi+\operatorname{dim} \operatorname{Im} \varphi=m+n$
（A） $\operatorname{dim} \operatorname{ker} \varphi+\operatorname{dim} \operatorname{Im} \varphi=n$
（B） $\operatorname{dim} \operatorname{ker} \varphi+\operatorname{dim} \operatorname{Im} \varphi=m$
（C） $\operatorname{dim} \operatorname{ker} \varphi+\operatorname{dim} \operatorname{Im} \varphi=|m-n|$
（D） $\operatorname{dim} \operatorname{ker} \varphi+\operatorname{dim} \operatorname{Im} \varphi=m+n$