📝 北京工业大学 2016年高等代数真题

1．设 $A=\left(\begin{array}{cccc}2 & 5 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 5 & 5\end{array}\right)$ ，其中 $A_{i j}$ 是 $A$ 中元素 $a_{i j}$ 的代数余子式，则
$A_{11}+A_{12}+A_{13}+A_{14}=$ $\_\_\_\_$ （1） $\_\_\_\_$

2．若 $n$ 阶矩阵 $A$ 的各行元素之和均为零，且 $R(A)=n-1$ ，则齐次线性方程组 $A x=0$的一个基础解系是 $\_\_\_\_$ （2） $\_\_\_\_$

3．设 $R$ 为实数域，集合 $V=\left\{A \in R^{n \times n} \mid A^{T}=A\right\}$ 关于矩阵的加法和数乘构成一个实线性空间，则 $\operatorname{dim} V=$ $\_\_\_\_$ （3） $\_\_\_\_$

4．设矩阵 $A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1\end{array}\right)$ 的特征值为 $\lambda_{4}, \lambda_{2}, \lambda_{3}, \lambda_{4}$ ，则 $\lambda_{1} \lambda_{2} \lambda_{3} \lambda_{4}=$ $\_\_\_\_$ （4） $\_\_\_\_$

5．已知线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}-x_{1}-x_{2}+3 x_{3}=1+\lambda \\ -2 x_{1}+x_{2}+2 x_{3}=1 \\ x_{1}+x_{2}+\lambda x_{3}=\lambda\end{array}\right.$ 无解，则 $\lambda=$ $\_\_\_\_$ （5） $\_\_\_\_$

1．$A$ 是 $n$ 阶可＂逆矩阵，$A^{*}$ 是 $A$ 的伴随矩阵。则 $\left(A^{*}\right)^{*}=($ （6）
（A）$|A|^{n-1} A$
（B）$|A|^{n+1} A$
（C）$|A|^{n-2} A$
（D）$|A|^{n+2} A$

2．设向量组 I：$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{t}$ ，可由向量组 II：$\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{s}$ 线性表示，则下列结论正确的是（
（A）当 $s<t$ 时，向量组 I 必线性无关；
（B）当 $s<t$ 时，向量组 I 必线性相关；
（C）当 I 线性无关时，必有 $s<t$ ；
（D）当 II 线性无关时，必有 $s<t$ 。

3．当 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，且 $A A^{T}=E,|A|<0$ ，则 $|A+E|=$
（A） 0
（B） 1
（C）-1
（D）$|A|$

4．设 $A, B$ 为两个正定矩阵，则下列不正确的是（
（9）
（A）$A+B$ 正定
（B）$A B$ 正定；
（C）必存在可逆矩阵 $Q$ ，使得 $A=Q^{T} Q$ ；
（D）$A, B$ 的特征值为正实数。

5．下列说法正确的是 （10） －
（A）数域 $P$ 上两线性空间同构的充要条件是它们的维数相等；
（B）设矩阵 $A$ 满足 $A^{2}=E$ ，则 1 与 -1 一定是 $A$ 的特征值；
（C）正交变换在任意基下的矩阵都是正交矩阵；
（D）任意对称矩阵的特征值都是实数。