📝 北京工业大学 2024年高等代数真题

1、求 $\mathbf{A}$ 的行列式 $|\mathbf{A}|$ ．

2、求 $\mathbf{A}$ 的所有特征值．

1、求 $x, y$ 的值．

2、求可逆矩阵 $\mathbf{P}$ ，使得 $\mathbf{P}^{-1} \mathbf{A P}$ 为对角矩阵．

3、求 $A^{n}$ ，其中 $n$ 是正整数．

1、设 $n$ 阶实方阵 $A$ 和 $B$ 满足：$A B+B A=O$ ，如果 $A$ 是 $n$ 阶实对称的半正定方阵，那么 $A B=B A=O$ 成立吗？

2、设 $\mathbf{A}, \mathbf{B}$ 是 $\mathbf{n}$ 阶正定矩阵，已知 $\mathbf{C}$ 是矩阵方程：

$$
A X+X A=B .
$$

的唯一解，证明：
（1）$C$ 是实对称矩阵．
（2）$C$ 是正定矩阵．

1、证明：$V$ 是 4 维欧氏空间．

2、设 $O \neq A \in V$ ，定义：

$$
\sigma_{A}(B)=B-\frac{(2 B, A)}{(A, A)} A .
$$

证明：$\sigma_{A}$ 是可对角化的线性变换．

3、设 $A=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right)$ 。求 $V$ 的一组基，使得 $\sigma_{A}$ 在这组基下的矩阵为对角矩阵，并求出该对角矩阵。

1、证明：矩阵 $\mathbf{A}$ 相似于上三角矩阵：

$$
\left(\begin{array}{ccccc}
\lambda_{1} & * & * & \cdots & * \\
& \lambda_{2} & * & \cdots & * \\
& & \lambda_{3} & \cdots & * \\
& & & \ddots & \vdots \\
& & & & \lambda_{n}
\end{array}\right) .
$$

2、若 $-\lambda_{i},(i=1,2, \cdots, n)$ 全都不是 $A$ 的特征值．证明： $\varphi: x \mapsto x A+A^{T} x$ 是 $M_{n}(\mathbb{P})$ 上的同构线性变换，其中 $\mathbf{x} \in \mathbf{M}_{\mathbf{n}}(\mathbb{P}), \mathbf{M}_{\mathbf{n}}(\mathbb{P})$ 是数域 $\mathbb{P}$ 上所有 $\mathbf{n}$ 阶方阵做矩阵加法和矩阵数乘而构成的线性空间。