📝 华东师范大学 2023年高等代数真题
第1题
1．考虑由所有二阶复系数方阵构成的集合
$$
M_{2}(\mathbb{C})=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right) \right\rvert\, a, b, c, d \in \mathbb{C}\right\} .
$$
已知 $\displaystyle M_{2}(\mathbb{C})$ 是以 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 为基的复线性空间，这里 $\displaystyle E_{i j}$ 是指除第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 1
外其余元素均为 0 的二阶方阵。设
$$
B=\left(\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
1 & 1
\end{array}\right)=E_{11}+E_{12}+E_{21}+E_{22}
$$
（1）证明：如下映射为线性映射．
$$
\begin{aligned}
\varphi_{B}: M_{2}(\mathbb{C}) & \rightarrow M_{2}(\mathbb{C}) \\
X & \mapsto \varphi_{B}(X)=B X
\end{aligned}
$$
（2）求 $\displaystyle \varphi_{B}$ 在上述基下的表示矩阵；
（3）分别求核空间 $\displaystyle \operatorname{Ker} \varphi_{B}$ 和像空间 $\displaystyle \operatorname{Im} \varphi_{B}$ 的维数与基；
（4）求 $\displaystyle \varphi_{B}$ 的若尔当典范形．
$$
M_{2}(\mathbb{C})=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right) \right\rvert\, a, b, c, d \in \mathbb{C}\right\} .
$$
已知 $\displaystyle M_{2}(\mathbb{C})$ 是以 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 为基的复线性空间，这里 $\displaystyle E_{i j}$ 是指除第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 1
外其余元素均为 0 的二阶方阵。设
$$
B=\left(\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
1 & 1
\end{array}\right)=E_{11}+E_{12}+E_{21}+E_{22}
$$
（1）证明：如下映射为线性映射．
$$
\begin{aligned}
\varphi_{B}: M_{2}(\mathbb{C}) & \rightarrow M_{2}(\mathbb{C}) \\
X & \mapsto \varphi_{B}(X)=B X
\end{aligned}
$$
（2）求 $\displaystyle \varphi_{B}$ 在上述基下的表示矩阵；
（3）分别求核空间 $\displaystyle \operatorname{Ker} \varphi_{B}$ 和像空间 $\displaystyle \operatorname{Im} \varphi_{B}$ 的维数与基；
（4）求 $\displaystyle \varphi_{B}$ 的若尔当典范形．
第2题
2．设 $\displaystyle \alpha, \beta$ 同上一题，$W$ 是由它们生成的子空间，则向量 $\displaystyle \gamma=(0,1,0,1)$ 在 $W$ 中的正交投影为
第3题
3．考虑欧氏空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{4}$ 中的向量 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,3,1,-1), \alpha_{2}=(2,3,2,1), \beta_{1}=(3,-1,-3,-5), \beta_{2}= (2,-1,0,1)$ ，设 $\displaystyle W_{1}$ 是由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 生成的子空问，$\displaystyle W_{2}$ 是由 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$ 生成的子空间，则 $\displaystyle W_{1} \cap W_{2}$ 的维数是 $\displaystyle \_\_\_\_$
第4题
4．行列式 $\displaystyle \left|\begin{array}{ccc}6 & 1 & 8 \\ 7 & 5 & 3 \\ 2 & 9 & 4\end{array}\right|$ 的值为 $\displaystyle \_\_\_\_$
第5题
5．齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的解空间维数是 $\displaystyle \_\_\_\_$ ，这里
$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 3 & 1 & 5 \\
0 & 2 & 1 & 3 \\
2 & 0 & -1 & 1 \\
-1 & 3 & 2 & 4
\end{array}\right)
$$
$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 3 & 1 & 5 \\
0 & 2 & 1 & 3 \\
2 & 0 & -1 & 1 \\
-1 & 3 & 2 & 4
\end{array}\right)
$$
第6题
6．实系数多项式 $\displaystyle f(x)=x^{3}-3 x+2$ 与 $\displaystyle g(x)=x^{3}+3 x^{2}-4$ 的最大公因式为 $\displaystyle \_\_\_\_$
第7题
7．设 $\displaystyle f(x)=x^{2}$ 及 $\displaystyle g(x)=x^{3}+x+1$ ，满足同余方程 $\displaystyle u(x) f(x) \equiv 1(\bmod g(x))$ 且次数最小的多项式 $\displaystyle u(x)$ 为 $\displaystyle \_\_\_\_$
第8题
8．已知方阵 $A$ 的初等因子组为 $\displaystyle \lambda, \lambda, \lambda^{2}, \lambda+1,(\lambda+1)^{2},(\lambda-1)^{2}$ ，则 $A$ 的极小多项式为 $\displaystyle \_\_\_\_$
第9题
9．实对称矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}2 & -2 & 0 \\ -2 & 1 & -2 \\ 0 & -2 & 0\end{array}\right)$ 可以通过正交相似变换化为对角阵 $\displaystyle \_\_\_\_$
第10题
10．使得二次型 $\displaystyle q(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}+y z+x z+t x y(t \in \mathbb{R})$ 正定的 $t$ 之取值范围是 $\displaystyle \_\_\_\_$