📝 哈尔滨工业大学 2017年数学分析真题
第0题
1．$(-\infty, 0]$ 上有界连续函数是否一定一致连续．
第0题
2．对任意有理数列 $\left\{r_{n}\right\}, r_{n} \rightarrow 0$ 且 $r_{n} \neq 0$ ，若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{f\left(x_{0}+r_{n}\right)-f\left(x_{0}\right)}{r_{n}}$ 存在，则 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)$ 存在．
第0题
3．若 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0$ 且 $f(x) \geqslant 0$ 则 $f(x) \equiv 0, x \in[a, b]$ ．
第0题
4．$\left\{u_{n}\right\}$ 是非负数列且 $\displaystyle u_{n}=o\left(\frac{1}{n}\right)$ ，则 $\sum u_{n}$ 一定收玫．
第0题
5．如果点 $(x, y)$ 沿任意射线方向趋于 $(0,0), f(x, y)$ 的极限均存在且相等则 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)$ 存在即 $f(x, y)$的重极限存在．
第0题
五．（15 分）（1）证明
$$
\lim _{n \rightarrow+\infty} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) \cdot \frac{1}{n}=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x
$$
这里 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{n}{n^{2}+1}+\frac{n}{n^{2}+2}+\cdots+\frac{n}{n^{2}+n}\right)$ ．
$$
\lim _{n \rightarrow+\infty} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) \cdot \frac{1}{n}=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x
$$
这里 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{n}{n^{2}+1}+\frac{n}{n^{2}+2}+\cdots+\frac{n}{n^{2}+n}\right)$ ．
第0题
八．（15 分）（1）设 $\displaystyle k \sin y+\cos x=1$ ，其中 $\displaystyle (x, y)$ 满足 $\displaystyle \{(x, y)||x|<k-1, y \in(-\infty,+\infty)\}$ ，则方程在 $\displaystyle (0,0)$ 附近有存在唯一的 $\displaystyle y=y(x)$ ．
（2）讨论 $\displaystyle y=y(x)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 的可微性．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{y(x)}{x}$ ．
（2）讨论 $\displaystyle y=y(x)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 的可微性．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{y(x)}{x}$ ．
第0题
六．（15 分）判断
$$
\sum \frac{2016^{n}}{2017^{n}-2015^{n}}
$$
的玫散性．
$$
\sum \frac{2016^{n}}{2017^{n}-2015^{n}}
$$
的玫散性．
第0题
十．（15 分）（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续且 $\displaystyle f(x)>0$ 则计算
$$
\iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant n^{2}} \frac{a f(x)+b f(y)}{f(x)+f(y)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$
（2）若记 $\displaystyle u=f(x, y), \lim _{y \rightarrow 0} f(x, y)=\phi(x)$ 且有 $\displaystyle (\phi(u)) \leqslant u^{2}$ ，则 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 点是否可微请说明理由．
$$
\iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant n^{2}} \frac{a f(x)+b f(y)}{f(x)+f(y)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$
（2）若记 $\displaystyle u=f(x, y), \lim _{y \rightarrow 0} f(x, y)=\phi(x)$ 且有 $\displaystyle (\phi(u)) \leqslant u^{2}$ ，则 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 点是否可微请说明理由．
第0题
四．（15 分）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 连续，$\displaystyle (a, b)$ 可导且 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant L<1$ 且 $\displaystyle a \leqslant f(x) \leqslant b,(a \leqslant x \leqslant b)$ 则：
（1）在 $\displaystyle [a, b]$ 上存在唯一一点 $\displaystyle x^{*}$ 使得 $\displaystyle f\left(x^{*}\right)=x^{*}$ ．
（2）对任意 $\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ 构造 $\displaystyle x_{n}=f\left(x_{n-1}\right)$ 则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} x_{n}=x^{*}$ ．
（1）在 $\displaystyle [a, b]$ 上存在唯一一点 $\displaystyle x^{*}$ 使得 $\displaystyle f\left(x^{*}\right)=x^{*}$ ．
（2）对任意 $\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ 构造 $\displaystyle x_{n}=f\left(x_{n-1}\right)$ 则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} x_{n}=x^{*}$ ．