📝 哈尔滨工程大学 2015年高等代数真题

七、设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$\displaystyle \lambda_{0}$ 为 $A$ 的特征值，此时我们称 $\displaystyle n-r\left(\lambda_{0} E-A\right)$ 为 $\displaystyle \lambda_{0}$ 的几何重数，$\displaystyle \lambda_{0}$作为 $A$ 的特征多项式 $\displaystyle |\lambda E-A|$ 之根的重数称为 $\displaystyle \lambda_{0}$ 的代数重数，求证 $\displaystyle \lambda_{0}$ 的几何重数不超过其代数重数．

三、对齐次线性方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=0 \\
3 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}+x_{4}-3 x_{5}=0 \\
x_{2}+2 x_{3}+2 x_{4}+6 x_{5}=0 \\
5 x_{1}+4 x_{2}+3 x_{3}+3 x_{4}-x_{5}=0
\end{array}\right.
$$

（1）求其中一个基础解系；
（2）求其向量形式的通解。

二、设 $V$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的三维线性空间， $\displaystyle \mathcal{A}$ 为 $V$ 的一个线性变化，且 $\displaystyle \mathcal{A}$ 在 $V$ 的基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 4 & 2 \\ 0 & -3 & 4 \\ 0 & 4 & 3\end{array}\right)$ ．
（1）求 $V$ 的另一个基 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 使 $\displaystyle \mathcal{A}$ 在此基下的矩阵 $B$ 为对角阵；
（2）求 $\displaystyle A^{k}$ ．

五、设 $\displaystyle \mathcal{A}$ 为数域 上 维线性空间 上的线性变换，$\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x)$ 为 $\displaystyle P[x]$ 中两个互素多项式，$\displaystyle f(x)=f_{1}(x) f_{2}(x)$ ，求证： $\displaystyle \operatorname{Ker} f(\mathcal{A})=\operatorname{Ker} f_{1}(\mathcal{A}) \oplus \operatorname{Ker} f_{2}(\mathcal{A})$ ．

八、设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶对称阵，且 $A$ 正定，求证：存在一个可逆矩阵使得 $\displaystyle P^{T} A P$ 和 $\displaystyle P^{T} B P$ 同时为对角阵．

六、设 为数域 $\displaystyle \mathbb{F}$ 上的 $n$ 维线性空间， $\displaystyle \mathcal{A}$ 为 上的线性变化， $\displaystyle \mathcal{A}^{2}=\mathcal{A}$ ，求证：
（1）$\displaystyle V=\mathcal{A}(V) \oplus \operatorname{Ker}_{\mathcal{A}} \mathcal{A}$ ；
（2）存在 的一个基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ ，在此基下 $\displaystyle \mathcal{A}$ 的矩阵为 $\displaystyle A=\operatorname{diag}\{1, \cdots, 1,0, \cdots, 0\}$（对角线为 $\displaystyle 1, \cdots, 1,0, \cdots 0$ ）的对角阵）。

四、设 $\displaystyle \mathcal{A}, \mathcal{B}$ 为 维线性空间 上的线性交换，$\displaystyle (\mathcal{A}+\mathcal{B})^{2}=\mathcal{A}+\mathcal{B}, \mathcal{A}^{2}=\mathcal{A}, \mathcal{B}^{2}=\mathcal{B}$ ，求证： $\displaystyle \mathcal{A B}=0$ ．

1．若 $P$ 为包含 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 和 $\displaystyle \sqrt{3}$ 的最小数域，则 $P$ 视为 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上的线性空间其维数是 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

2．若 $\displaystyle f(x)$ 为数域 $P$ 上的不可约多项式，则 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 的关系是 $\displaystyle \_\_\_\_$。

3．若 $A$ 为奇数阶反对称阵，则 $\displaystyle |A|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。

4．设 $A$ 为方阵，且 $\displaystyle A^{3}=0$ ，则 $\displaystyle (E-A)^{-1}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

5．向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}, \alpha_{5} \in \mathbb{R}^{5}$ 线性无关，则向量组 $\displaystyle \alpha_{1}+\alpha_{2}, \alpha_{2}+\alpha_{3}, \alpha_{3}+\alpha_{4}, \alpha_{4}+\alpha_{5}$ ， $\displaystyle \alpha_{5}+\alpha_{1}$ 的线性相关性是 $\displaystyle \_\_\_\_$。

6．设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶方阵，且 $\displaystyle A B=0$ ，则 $\displaystyle r(A)+r(B) \leq$ $\displaystyle \_\_\_\_$。

7．设 $\displaystyle \mathcal{A}$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变化， $\displaystyle \operatorname{Ker} \mathcal{A}=0$ ，则 $\displaystyle \mathcal{A}$ $\displaystyle \_\_\_\_$线性变化．

8．设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶方阵，且 $A$ 可逆，则 $\displaystyle A B$ 与 $\displaystyle B A$ 的关系是 $\displaystyle \_\_\_\_$。

9．若 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶正交阵，且 $\displaystyle |A B|=-1$ ，则 $\displaystyle |A+B|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。

10．设 $A$ 为 $\displaystyle m \times n$ 实矩阵，$\displaystyle r(A)=n$ ，则 $n$ 元二次型 $\displaystyle X^{T}\left(A^{T} A\right) X$ 正定性为 $\displaystyle \_\_\_\_$。