📝 哈尔滨工程大学 2022年高等代数真题
第0题
一．（10 分）计算 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\int_{0}^{x^{2}}(\sin t)^{\frac{3}{2}} \mathrm{~d} t}{\int_{0}^{x} t(t-\sin t) \mathrm{d} t}$ ．
第0题
七．（15 分）求二重积分 $\displaystyle \iint_{D} e^{\frac{y}{x+y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 为以 $\displaystyle (0,0),(0,1),(1,0)$ 为顶点的三角形．
第0题
三．（10 分）数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 分别收敛于 $\displaystyle a, b$ ，证明：
$$
\begin{aligned}
\lim _{n \rightarrow \infty} \max \left\{a_{n}, b_{n}\right\} & =\max \{a, b\} \\
\lim _{n \rightarrow \infty} \min \left\{a_{n}, b_{n}\right\} & =\min \{a, b\}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
\lim _{n \rightarrow \infty} \max \left\{a_{n}, b_{n}\right\} & =\max \{a, b\} \\
\lim _{n \rightarrow \infty} \min \left\{a_{n}, b_{n}\right\} & =\min \{a, b\}
\end{aligned}
$$
第0题
九．（15 分）证明当 $\displaystyle |q|<1$ 时，$\displaystyle \left(\sum_{n=0}^{\infty} q^{n}\right)\left(\sum_{n=0}^{\infty} q^{n}\right)=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1) q^{n}$ ．
第0题
二．（10 分）求定积分 $\displaystyle \int_{1}^{e} \sin (\ln x) \mathrm{d} x$ ．
第0题
五．（10 分）设 $\displaystyle u=f(x, y)$ 是由方程组 $\displaystyle u=f(x, y, z, t), g(y, z, t)=0, h(z, t)=0$ 所确定的函数，$\displaystyle f, g, h$ 连续可微，且 $\displaystyle \frac{\partial(g, h)}{\partial(z, t)} \neq 0$ ，求 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}$ ．
第0题
八．（15 分）设 $\displaystyle \Sigma$ 是区域 $\displaystyle \Omega$ 分片光滑的边界曲面，$\displaystyle u, v$ 在 $\displaystyle \bar{\Omega}$ 上二阶连续可微．证明：
$$
\iiint_{\Omega} v \Delta u \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\iiint_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iint_{\Sigma} v \frac{\partial u}{\partial \mathbf{n}} \mathrm{~d} S
$$
其中 $\displaystyle \mathbf{n}$ 为 $\displaystyle \Sigma$ 上的单位外法向量，$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial \mathbf{n}}$ 为 $u$ 在 $\displaystyle \mathbf{n}$ 方向上的方向导数．
$$
\iiint_{\Omega} v \Delta u \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\iiint_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iint_{\Sigma} v \frac{\partial u}{\partial \mathbf{n}} \mathrm{~d} S
$$
其中 $\displaystyle \mathbf{n}$ 为 $\displaystyle \Sigma$ 上的单位外法向量，$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial \mathbf{n}}$ 为 $u$ 在 $\displaystyle \mathbf{n}$ 方向上的方向导数．
第0题
六．（ 10 分）求 $\displaystyle f(x, y, z)=\ln x+\ln y+3 \ln z$ 的最大值，其中 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=5 r^{2}, x>0, y>0, z>0$ 。并据此证明对任意的正数 $\displaystyle a, b, c$ ，都有 $\displaystyle a b c^{3} \leq 27\left(\frac{a+b+c}{5}\right)^{5}$ 成立．
第0题
十．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上单调，且无界反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫，证明：
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{f\left(\frac{1}{n}\right)+f\left(\frac{2}{n}\right)+\cdots+f\left(\frac{n-1}{n}\right)}{n}=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x
$$
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{f\left(\frac{1}{n}\right)+f\left(\frac{2}{n}\right)+\cdots+f\left(\frac{n-1}{n}\right)}{n}=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x
$$
第0题
十一．（15 分）证明：$\displaystyle f(x)$ 是区间 $I$ 上的下凸函数当且仅当对任意 $\displaystyle \lambda>0, e^{\lambda f(x)}$ 是区域 $I$ 上的下凸函数．
第0题
十二．（15分）设 $\displaystyle f(x) \in C[0,1]$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上可导，并且 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=1$ ，又设 $\displaystyle k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n}$ 是满足 $\displaystyle k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{n}=1$ 的 $n$ 个正数．证明：在 $\displaystyle (0,1)$ 中存在 $n$ 个不相同的数 $\displaystyle t_{1}, t_{2}, \cdots, t_{n}$ ，使得
$$
\frac{k_{1}}{f^{\prime}\left(t_{1}\right)}+\frac{k_{2}}{f^{\prime}\left(t_{2}\right)}+\cdots+\frac{k_{n}}{f^{\prime}\left(t_{n}\right)}=1
$$
$$
\frac{k_{1}}{f^{\prime}\left(t_{1}\right)}+\frac{k_{2}}{f^{\prime}\left(t_{2}\right)}+\cdots+\frac{k_{n}}{f^{\prime}\left(t_{n}\right)}=1
$$
第0题
四．（10 分）求二重极限 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{\sin \left(x^{3}+y^{3}\right)}{x^{2}+y^{2}}$ ．