📝 安徽师范大学 2017年数学分析真题

一，（18 分）求（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{2016}+2^{2016}+\cdots+n^{2016}}{n^{2017}}$ ；（2）$\displaystyle \frac{d^{n}\left(e^{x} \sin x\right)}{d x^{n}}$

七，（10 分）证明：$\displaystyle n!<\left(\frac{n+1}{2}\right)^{n}, n>1$ ．

三，（10 分）证明 $\displaystyle \left\{1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\cdots+\frac{1}{n^{2}}\right\}_{n=1}^{\infty}$ 收玫。

二，（12 分）设 $\displaystyle x_{n}=1+\frac{n}{n+1} \cos \frac{n \pi}{2}, n=1,2, \cdots$ ，求 $\displaystyle \inf \left\{x_{n}\right\}, \sup \left\{x_{n}\right\}, \frac{\lim }{n \rightarrow \infty}, \overline{\lim }$ ．

五，（15 分）研究 $\displaystyle f(x)=\sin x^{2}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内的一致连续性．

八，（10 分）证明：$\displaystyle \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+1}>e, x>0$ ．

十，（15 分）求 $\displaystyle \int \frac{d x}{\sin (x+2016) \sin (x+2017)}$ ．

十一，（10 分）在 $\displaystyle [a, b]$ 上研究 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 绝对并一致收敛与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|u_{n}(x)\right|$ 一致收敛的关
系。

十二，（15 分）计算 $\displaystyle \iint_{\Sigma}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d S$ ，其中 $\displaystyle \Sigma$ 为 $\displaystyle |x|+|y|+|z|=1$ 的表面．

四，（10 分）若 $\displaystyle 0 \leq x_{n+m} \leq x_{n}+x_{n}, n, m \in N^{+}$，证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{n}$ 存在