📝 安徽师范大学 2023年数学分析真题

一，（15 分）已知数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle a_{n+1}=\sqrt[3]{6+a_{n}}$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收玫，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ ．

七，（15 分）$D$ 为 $\displaystyle y=\sqrt{x} a^{-\frac{x}{2 a}}(a>1,0 \leq x<+\infty)$ 下方，$x$ 轴上方围成的无界区域。
（1）求 $D$ 绕着 $x$ 轴旋转一周所成的旋转体的体积 $\displaystyle V(a)$
（2）$a$ 为何值时，$\displaystyle V(a)$ 最小，求最小值

三，（15 分）$\displaystyle f(x)$ 有连续导数，$\displaystyle f(1)=-\frac{1}{2}, z=f\left(e^{x} y^{2}\right)$ ．若 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=z^{2}$ ，求 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x>0$ 的表达式．

九，（15 分）计算 $\displaystyle \iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}\right) d V, \Omega$ 为 $\displaystyle y o z$ 平面上曲线 $\displaystyle y^{2}=2 z$ 绕 $z$ 轴旋转一周所形成的曲面与 $\displaystyle z=2, z=8$ 所围成的区域．

二，（15 分）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 连续， $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(x) d x=0, \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \sin x d x=0$ ．证明：$\displaystyle f(x)$在 $\displaystyle \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 上至少有两个不同的零点．

五，（15分）求 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-\left(x-\frac{1}{x}\right)^{2}} d x$ ．

八，（15 分）计算 $\displaystyle I=\int_{L}\left[e^{x} \sin y-3(x+y)\right] d x+\left(e^{x} \cos y-x\right) d y, L$ 为从 $\displaystyle O(2,0)$ 沿着曲线 $\displaystyle y=\sqrt{2 x-x^{2}}$ 到 $\displaystyle A(0,0)$ 的弧．

六，（15 分）若 $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}|f(x)| d x$ 收敛。证明：$\displaystyle g(a)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \sin ^{2} a x d x$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致连续．

十，（15 分）证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(n+x)^{n}}{n^{n+1}}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛．

四，（15 分）求 $\displaystyle \int \frac{2 x \ln x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} d x$ ．