📝 安徽师范大学 2025年数学分析真题

一、（15分）叙述数列的柯西收敛准则，并用柯西收敛准则证明数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛，
其中 $\displaystyle a_{n}=\frac{\cos ^{1} 1}{1^{1}}+\frac{\cos ^{2} 2}{2^{2}}+\frac{\cos ^{3} 3}{3^{3}}+\cdots+\frac{\cos ^{n} n}{n^{n}}$ ．

七、（15 分）若函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛，且每一项都连续，则

$$
\int_{a}^{b} \lim _{n \rightarrow+\infty} f_{n}(x) \mathrm{d} x=\lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{a}^{b} f_{n}(x) \mathrm{d} x
$$

三、（15 分）判断 $e$ 是有理数，还是无理数？

九、（15 分）已知 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} \mathrm{~d} x=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ ，求证：

$$
\int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} \cos (r x) \mathrm{d} x=\frac{\sqrt{\pi}}{2} e^{-\frac{r^{2}}{4}}
$$

二、（15 分）判断 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{2} & , x \in(-\infty, 0) \cup(0,+\infty) \\ 1 & , x=0\end{array}\right.$ 在 $\displaystyle (-\infty$, $\displaystyle +\infty)$ 上的一致连续性．

五、（15 分）求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n+\frac{1+i^{2}}{n}}$ ．

八、（15 分）证明：曲面 $\displaystyle F\left(\frac{z}{y}, \frac{x}{z}, \frac{y}{x}\right)=0$ 的切平面过定点，其中 $F$ 具有连续偏导数．

六、（15 分）证明：黎曼函数 $\displaystyle R(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可积．

十、（15 分）若 $S$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 的上半球面，取上侧，求曲面积分

$$
\iint_{S}\left(x^{2}-x\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^{2}-y\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z+\left(z^{2}-z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$

四、（15 分）求常数 $k$ 的值，使得 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}-\sin x, x \in[0,+\infty) \\ \arctan x+k, x \in(-\infty, 0)\end{array}\right.$在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上存在原函数，并求 $\displaystyle \int f(x) \mathrm{d} x$ ．