📝 山东大学 2024年高等代数真题
第0题
1．（15 分）考虑齐次线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{c}
a x_{1}+b x_{2}+b x_{3}+\cdots+b x_{n}=0 \\
b x_{1}+a x_{2}+b x_{3}+\cdots+b x_{n}=0 \\
\cdots \cdots \\
b x_{1}+b x_{2}+b x_{3}+\cdots+a x_{n}=0
\end{array}\right.
$$
其中 $a \neq 0, b \neq 0, n \geq 2$ 。试讨论 $a, b$ 取何值时，方程组仅有零解？有无穷多解？并在有无穷多解时，用基础解系给出其通解。
$$
\left\{\begin{array}{c}
a x_{1}+b x_{2}+b x_{3}+\cdots+b x_{n}=0 \\
b x_{1}+a x_{2}+b x_{3}+\cdots+b x_{n}=0 \\
\cdots \cdots \\
b x_{1}+b x_{2}+b x_{3}+\cdots+a x_{n}=0
\end{array}\right.
$$
其中 $a \neq 0, b \neq 0, n \geq 2$ 。试讨论 $a, b$ 取何值时，方程组仅有零解？有无穷多解？并在有无穷多解时，用基础解系给出其通解。
第0题
2．（15 分）设 $A, B, C$ 分别为 $m \times n, n \times t, s \times m$ 阶矩阵。
（1）若矩阵 $A$ 的秩 $r(A)=r$ ，证明：存在可逆阵 $P, Q$ ，使得 $P A$ 的后 $m-r$ 行全为零，$A Q$ 的后 $n-r$ 列全为零．
（2）利用（1）证明：若 $r(A)=n$ ，则 $r(A B)=r(B)$ ；若 $r(A)=m$ ，则 $r(C A)=r(C)$ ．
（1）若矩阵 $A$ 的秩 $r(A)=r$ ，证明：存在可逆阵 $P, Q$ ，使得 $P A$ 的后 $m-r$ 行全为零，$A Q$ 的后 $n-r$ 列全为零．
（2）利用（1）证明：若 $r(A)=n$ ，则 $r(A B)=r(B)$ ；若 $r(A)=m$ ，则 $r(C A)=r(C)$ ．
第0题
3．（10分）设 $A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，$\alpha$ 为 $n$ 维实的列向量，证明：$A^{-1}$ 与 $A+\alpha \alpha^{T}$ 均为正定矩阵，其中 $A^{-1}$ 为 $A$ 的逆矩阵，$\alpha^{T}$ 为 $\alpha$ 的转置。
第0题
4．（15 分）设 $A=\left(\begin{array}{ccc}0 & b & -c \\ -b & 0 & a \\ c & -a & 0\end{array}\right)$ 为实矩阵，令 $B=A^{2}+q A+E$ ，其中 $q=a^{2}+b^{2}+c^{2}, E$ 为三阶单位阵。试问：当且仅当 $q$ 为何值时，矩阵 $B$ 是正交矩阵？
第0题
5．（15分）设 $A, B$ 为 3 阶复方阵，且都只有一个特征值 $\lambda_{0}$ ．证明：$A$ 与 $B$ 相似的充要条件是
$$
\operatorname{dim}\left(V_{\lambda_{0}}(A)\right)=\operatorname{dim}\left(V_{\lambda_{0}}(B)\right)
$$
$$
\operatorname{dim}\left(V_{\lambda_{0}}(A)\right)=\operatorname{dim}\left(V_{\lambda_{0}}(B)\right)
$$
第0题
6．（20 分）设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，$W_{1}, W_{2}$ 是 $V$ 的子空间，且 $\operatorname{dim} W_{1}=s<\operatorname{dim} W_{2}=t$ ．证明：
（1）存在 $\beta \in W_{2}, \beta \neq 0$ ，而 $\left(\beta, W_{1}\right)=0$ ，且 $\operatorname{dim}\left(W_{1}^{\perp} \cap W_{2}\right) \geq t-s$ ．
（2） $\operatorname{dim}\left(W_{1}+W_{2}^{\perp}\right) \leq n-t+s$ ．
（1）存在 $\beta \in W_{2}, \beta \neq 0$ ，而 $\left(\beta, W_{1}\right)=0$ ，且 $\operatorname{dim}\left(W_{1}^{\perp} \cap W_{2}\right) \geq t-s$ ．
（2） $\operatorname{dim}\left(W_{1}+W_{2}^{\perp}\right) \leq n-t+s$ ．
第0题
1．（10 分）求方程 $\left(y+x^{3} y+2 x^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(x+4 x y^{4}+8 y^{3}\right) \mathrm{d} y=0$ 的通解．
第0题
2．（10 分）求方程 $\left(y^{\prime}\right)^{3}+y^{3}-3 y y^{\prime}=0$ 的通解．
第0题
3．（10 分）试证若 $y=\varphi(x)$ 是方程 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=p(x) \sin y$ 的满足初试条件 $\varphi(0)=0$ 的解，则 $\varphi(x) \equiv 0$ ，其中 $p(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续．
第0题
4．（20 分）设 $t>0, x, y$ 是关于 $t$ 的函数，解方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
t x^{\prime}-x-y=0 \\
t y^{\prime}+x-y=0
\end{array}\right.
$$
$$
\left\{\begin{array}{l}
t x^{\prime}-x-y=0 \\
t y^{\prime}+x-y=0
\end{array}\right.
$$
第0题
5．（10 分）是否存在 $\mathbb{R}$ 上连续函数 $p, q$ ，使得微分方程 $y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=0, x \in \mathbb{R}$ 有两个解 $\phi(x)=\sin x, \psi(x)=x e^{x}, x \in \mathbb{R} ?$