📝 山东大学 2025年数学分析真题

1、设函数 $g(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上二阶连续可微，且满足

$$
g(0)=g^{\prime}(0)=0, g^{\prime \prime}(0)=2 a
$$

设 $\displaystyle f(x)=\frac{g(x)}{x},(x \neq 0), f(0)=0$ ，求 $f^{\prime}(0)$ ．

2、求定积分 $\displaystyle I=\int_{0}^{1} \frac{\ln (1+x)}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．

3、若 $F(t)=\iiint_{\Omega} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $f$ 是 $\mathbb{R}$ 上的可微函数且 $\Omega=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq t^{2}\right\}, ~ t>0$ ．
（1）计算 $F^{\prime}(t)$
（2）若 $f^{\prime}(0)=0$ ，计算极限 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{F(t)}{t^{5}}$ ．

1、设 $f(x)$ 在开区间 $(0,1)$ 上可导，导函数 $f^{\prime}(x)$ 在开区间 $(0,1)$ 上有界，证明：函数 $f(x)$ 在开区间 $(0,1)$ 上有界且一致连续．

2、设 $f(x, y)=\varphi(|x y|)$ ，且在 $u=0$ 的附近满足：$|\varphi(u)| \leq u^{2}$ 。证明： $f(x, y)$ 在原点 $(0,0)$ 处可微。

3、设非负连续函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递减，证明：

$$
F(x)=\int_{0}^{x}(x-2 t) f(t) \mathrm{d} t
$$

在 $[0,+\infty)$ 上是凸函数．

1、设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{1-x^{2}}$ ．
（1）求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty}\left[f\left(1-\frac{1}{n+1}\right)-f\left(1-\frac{1}{n}\right)\right]$ ．
（2）证明：函数 $f(x)$ 在 $[0,1)$ 上不一致连续．

2、设 $u_{n}(x)=x^{n} \ln x, x \in(0,1]$ ，讨论 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $(0,1]$ 上的玫散性和

一致收敛性，并计算 $\int_{0}^{1} \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x) \mathrm{d} x$ 。

3、设 $u(x, y, z)$ 是 $\mathbb{R}^{3}$ 上的连续函数，而且它在点 $M\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 的某个邻域上有连续的二阶偏导数，记 $\Sigma$ 是以 $M\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 为球心，$R$ 为半径的球面．令 $\displaystyle T(R)=\frac{1}{4 \pi R^{2}} \iint_{\Sigma} u(x, y, z) \mathrm{d} S, R>0$ ．证明：
（1） $\lim _{R \rightarrow 0^{+}} T(R)=u\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ ．
（2）若 $\displaystyle \Delta u=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}$ ，则

$$
\lim _{R \rightarrow 0^{+}} \frac{T(R)-u\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)}{R^{2}}=\frac{1}{6} \Delta u\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) .
$$

其中 $\displaystyle \left.\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}\right)\right|_{\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)} \neq 0$ ．

三、综合题。（每题 20 分，共 60 分）

二、证明题．（每题 15 分，共 45 分）