📝 西北工业大学 2026年数学分析真题

一．（20分）用极限的严格数学定义证明：
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{2}+x-1}{x^{2}}=1$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a}=1$ ，其中 $\displaystyle a>1$ ．

七．（15 分）证明：$\displaystyle f(x)=\sqrt{x}$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续．

三．（15 分）使用闭区间套定理证明聚点定理：实数轴上任一有界无限点集 $S$ 必有一个聚点．

九．（15 分）函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 二阶可导，$\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上的有界函数，证明：存在 $\displaystyle \xi \in (-\infty,+\infty)$ ，满足 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．

二．（20分）解答如下问题：
（1）求极限： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^{4}+1}-\left(x^{2}-1\right) e^{\frac{1}{x}}\right)$ ．
（2）求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n(n+1) 2^{n}}$ 的收玫域与和函数．

五．（ 15 分）利用 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} \mathrm{~d} x=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ ，计算 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-a^{2} x^{2}}-e^{-b^{2} x^{2}}}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle b>a>0$ ．

八．（15分）应用高斯公式计算三重积分

$$
\iiint_{V}(x y+y z+z x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z
$$

其中 $V$ 是由 $\displaystyle x \geq 0, y \geq 0,0 \leq z \leq 1$ 和 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leq 1$ 所确定的空间区域．

六．（15 分）函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 二阶偏导连续，试以 $\displaystyle u, v$ 作为新的自变量变换方程

$$
x^{2} \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}-y^{2} \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0
$$

其中 $\displaystyle u=x y, v=\frac{x}{y}$ ．

十．（5 分）函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上各阶可导，且存在 $\displaystyle M>0$ ，使得

$$
\left|f^{(k)}(x)\right| \leq M, \forall x \in(-\infty,+\infty), k=1,2, \cdots
$$

如果在一无限有界集 $E$ 上，$\displaystyle f(x) \equiv 0$ ，证明：在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上，$\displaystyle f(x) \equiv 0$ ．

四．（15 分）证明：若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上黎曼可积，则 $\displaystyle \lim _{p \rightarrow+\infty} \int_{a}^{b} f(x) \cos p x \mathrm{~d} x=0$ ．