若函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle\frac{1-\cos \sqrt{x}}{a x}, & x\gt 0 \\ b, & x \leqslant 0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续，则（ ）
设函数 $f(x)$ 可导，且 $f(x) f^{\prime}(x)\gt 0$ ，则（ ）
函数 $f(x, y, z)=x^{2} y+z^{2}$ 在点 $(1,2,0)$ 处沿向量 $\boldsymbol{n}=(1,2,2)$ 的方向导数为（ ）
甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10 （单位：$m$ ）处，图中，实线表示甲的速度曲线 $v=v_{1}(t)$（单位： $\mathrm{m} / \mathrm{s}$ ），虚线表示乙的速度曲线 $v=v_{2}(t)$ ，三块阴影部分面积的数值依次是 $10,20,3$ 。计时开始后乙追上甲的时刻记为 $t_{0}$（单位： s ），则（ ）
设 $\boldsymbol{\alpha}$ 为 $n$ 维单位列向量， $\boldsymbol{E}$ 为 $n$ 阶单位矩阵，则（）
已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{C}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ，则（ ）
设 $A, B$ 为随机事件．若 $0\lt P(A)\lt 1,0\lt P(B)\lt 1$ ，则 $P(A \mid B)\gt P(A \mid \bar{B})$ 的充分必要条件是（ ）
设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}(n \geqslant 2)$ 为来自总体 $N(\mu, 1)$ 的简单随机样本，记 $\bar{X}=\displaystyle\frac{1}{n} \displaystyle\sum_{i=1}^{n} X_{i}$ ，则下列结论中不正确的是（ ）
若曲线积分 $\displaystyle\int_{L} \displaystyle\frac{x \mathrm{~d} x-a y \mathrm{~d} y}{x^{2}+y^{2}-1}$ 在区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}\lt 1\right\}$ 内与路径无关，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．
幂级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} n x^{n-1}$ 在区间 $(-1,1)$ 内的和函数 $S(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 为线性无关的3 维列向量组，则向量组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 的秩为 $\_\_\_\_$ ．
设随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)=0.5 \Phi(x)+0.5 \Phi\left(\displaystyle\frac{x-4}{2}\right)$ ，其中 $\Phi(x)$ 为标准正态分布函数，则 $E(X)=$
设函数 $f(u, v)$ 具有 2 阶连续偏导数，$y=f\left(\mathrm{e}^{x}, \cos x\right)$ ，求 $\left.\displaystyle\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=0},\left.\displaystyle\frac{\mathrm{~d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}\right|_{x=0}$ ．
求 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \displaystyle\frac{k}{n^{2}} \ln \left(1+\displaystyle\frac{k}{n}\right)$ ．
设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上具有 2 阶导数，且 $f(1)\gt 0, \displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \displaystyle\frac{f(x)}{x}\lt 0$ 。证明： （I）方程 $f(x)=0$ 在区间 $(0,1)$ 内至少存在一个实根； （II）方程 $f(x) f^{\prime \prime}(x)+\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}=0$ 在区间 $(0,1)$ 内至少存在两个不同实根．
设薄片型物体 $S$ 是圆锥面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被柱面 $z^{2}=2 x$ 割下的有限部分，其上任一点的密度为 $\mu(x, y, z)=9 \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ ．记圆锥面与柱面的交线为 $C$ ． （I）求 $C$ 在 $x O y$ 平面上的投影曲线的方程； （II）求 $S$ 的质量 $M$ 。
设3阶矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right)$ 有3个不同的特征值，且 $\boldsymbol{\alpha}_{3}=\boldsymbol{\alpha}_{1}+2 \boldsymbol{\alpha}_{2}$ ． （ I ）证明 $r(\boldsymbol{A})=2$ ； （II）设 $\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}$ ，求方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}$ 的通解．
设二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}-x_{2}^{2}+a x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}-8 x_{1} x_{3}+2 x_{2} x_{3}$ 在正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q y}$ 下的标准形为 $\lambda_{1} y_{1}^{2}+\lambda_{2} y_{2}^{2}$ ，求 $\boldsymbol{a}$ 的值及一个正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$ ．
设随机变量 $X, Y$ 相互独立，且 $X$ 的概率分布为 $P\{X=0\}=P\{X=2\}=\displaystyle\frac{1}{2}, Y$ 的概率密度为 $f(y)= \begin{cases}2 y, & 0\lt y\lt 1, \\ 0, & \text { 其他．}\end{cases}$ （I）求 $P\{Y \leqslant E(Y)\}$ ； （II）求 $Z=X+Y$ 的概率密度．
某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做 $n$ 次测量，该物体的质量 $\mu$ 是已知的。设 $n$ 次测量结果 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 相互独立且均服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ ，该工程师记录的是 $n$ 次测量的绝对误差 $Z_{i}=\left|X_{i}-\mu\right|(i=1,2, \cdots, n)$ 。利用 $Z_{1}, Z_{2}, \cdots, Z_{n}$ 估计 $\sigma$ 。 （I）求 $Z_{1}$ 的概率密度； （II）利用一阶矩求 $\boldsymbol{\sigma}$ 的矩估计量； （III）求 $\sigma$ 的最大似然估计量．