下列函数中，在 $x=0$ 处不可导的是
过点 $(1,0,0),(0,1,0)$ ，且与曲面 $z=x^{2}+y^{2}$ 相切的平面为
$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \displaystyle\frac{2 n+3}{(2 n+1)!}=$
设 $M=\displaystyle\int_{-\displaystyle\frac{\pi}{2}}^{\displaystyle\frac{\pi}{2}} \displaystyle\frac{(1+x)^{2}}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x, N=\displaystyle\int_{-\displaystyle\frac{\pi}{2}}^{\displaystyle\frac{\pi}{2}} \displaystyle\frac{1+x}{\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x, K=\displaystyle\int_{-\displaystyle\frac{\pi}{2}}^{\displaystyle\frac{\pi}{2}}(1+\sqrt{\cos x}) \mathrm{d} x$ ，则
下列矩阵中，与矩阵 $\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ 相似的为
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶矩阵，记 $r(\boldsymbol{X})$ 为矩阵 $\boldsymbol{X}$ 的秩，（ $\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}$ ）表示分块矩阵，则
设随机变量 $X$ 的概率密度 $f(x)$ 满足 $f(1+x)=f(1-x)$ ，且 $\displaystyle\int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=0.6$ ，则 $P\{X\lt 0\}=$
设总体 $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right) . X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，据此样本检验假设：$H_{0}: \mu=\mu_{0}, ~ H_{1}: \mu \neq \mu_{0}$ ，则
若 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0}\left(\displaystyle\frac{1-\tan x}{1+\tan x}\right)^{\displaystyle\frac{1}{\sin k x}}=\mathrm{e}$ ，则 $k=$ $\_\_\_\_$ ．
设函数 $f(x)$ 具有 2 阶连续导数．若曲线 $y=f(x)$ 过点 $(0,0)$ 且与曲线 $y=2^{x}$ 在点 $(1,2)$ 处相切，则 $\displaystyle\int_{0}^{1} x f^{\prime \prime}(x) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
设 $\boldsymbol{F}(x, y, z)=x y \boldsymbol{i}-y z \boldsymbol{j}+z x \boldsymbol{k}$ ，则 $\operatorname{rot} \boldsymbol{F}(1,1,0)=$ $\_\_\_\_$。
设 $L$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 与平面 $x+y+z=0$ 的交线，则 $\oint_{L} x y \mathrm{~d} s=$ $\_\_\_\_$。
设 2 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 有两个不同特征值， $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的线性无关的特征向量，且满足 $\boldsymbol{A}^{2}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}\right)= \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}$ ，则 $|\boldsymbol{A}|=$ $\_\_\_\_$。
设随机事件 $A$ 与 $B$ 相互独立，$A$ 与 $C$ 相互独立，$B C=\varnothing$ ．若 $P(A)=P(B)=\displaystyle\frac{1}{2}, P(A C \mid A B \cup C) =\displaystyle\frac{1}{4}$ ，则 $P(C)=$
求不定积分 $\displaystyle\int \mathrm{e}^{2 x} \arctan \sqrt{\mathrm{e}^{x}-1} \mathrm{~d} x$ ．
设 $\Sigma$ 是曲面 $x=\sqrt{1-3 y^{2}-3 z^{2}}$ 的前侧，计算曲面积分 $I=\iint_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(y^{3}+2\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
已知微分方程 $y^{\prime}+y=f(x)$ ，其中 $f(x)$ 是 $\mathbf{R}$ 上的连续函数． （I）若 $f(x)=x$ ，求方程的通解； （II）若 $f(x)$ 是周期为 $T$ 的函数，证明：方程存在唯一的以 $T$ 为周期的解．
设数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足：$x_{1}\gt 0, x_{n} \mathrm{e}^{x_{n+1}}=\mathrm{e}^{x_{n}}-1(n=1,2, \cdots)$ 。证明数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
设实二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}-x_{2}+x_{3}\right)^{2}+\left(x_{2}+x_{3}\right)^{2}+\left(x_{1}+a x_{3}\right)^{2}$ ，其中 $a$ 是参数。 （I）求 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=0$ 的解； （II）求 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 的规范形。
已知 $a$ 是常数，且矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & a \\ 1 & 3 & 0 \\ 2 & 7 & -a\end{array}\right)$ 可经初等列变换化为矩阵 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}1 & a & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1\end{array}\right)$ ． （I）求 $a$ ； （II）求满足 $\boldsymbol{A P}=\boldsymbol{B}$ 的可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ．
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，$X$ 的概率分布为 $P\{X=1\}=P\{X=-1\}=\displaystyle\frac{1}{2}, Y$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布。令 $Z=X Y$ 。 （I）求 $\operatorname{Cov}(X, Z)$ ； （II）求 $Z$ 的概率分布．
设总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x ; \sigma)=\frac{1}{2 \sigma} \mathrm{e}^{-\frac{|x|}{\sigma}},-\infty\lt x\lt+\infty \text {, }
$$
其中 $\sigma \in(0,+\infty)$ 为未知参数，$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本。记 $\sigma$ 的最大似然估计量为 $\hat{\sigma}$ ．
（I）求 $\hat{\sigma}$ ；
（II）求 $E(\hat{\sigma}), D(\hat{\sigma})$ ．