当 $x \rightarrow 0^{+}$时，下列无穷小量中最高阶的是（ ）。
设函数 $f(x)$ 在区间 $(-1,1)$ 内有定义，且 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0$ ，则（ ）．
设函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微，$f(0,0)=0, \boldsymbol{n}=\left.\left(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}, \displaystyle\frac{\partial f}{\partial y},-1\right)\right|_{(0,0)}$ ，非零向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 与 $\boldsymbol{n}$垂直，则（ ）。
设 $R$ 为幂级数 $\displaystyle\sum_{n=1} a_{n} x^{n}$ 的收敛半径，$r$ 是实数，则 () ．
若矩阵 $\boldsymbol{A}$ 经过初等列变换化成 $\boldsymbol{B}$ ，则（ ）。
已知直线 $L_{1}: \displaystyle\frac{x-a_{2}}{a_{1}}=\displaystyle\frac{y-b_{2}}{b_{1}}=\displaystyle\frac{z-c_{2}}{c_{1}}$ 与直线 $L_{2}: \displaystyle\frac{x-a_{3}}{a_{2}}=\displaystyle\frac{y-b_{3}}{b_{2}}=\displaystyle\frac{z-c_{3}}{c_{2}}$ 相交于一点，记向量 $\boldsymbol{\alpha}_{i}=\left(\begin{array}{l}a_{i} \\ b_{i} \\ c_{i}\end{array}\right), i=1,2,3$ ，则 $\quad$ ）
设 $A, B, C$ 为三个随机事件，且 $P（A）=P（B）=P（C）=\displaystyle\frac{1}{4}, P(A B)=0$ ， $P(A C)=P(B C)=\displaystyle\frac{1}{12}$ ，则 $A, B, C$ 中恰有一个事件发生的概率为（ ）。
设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{100}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，其中 $P\{X=0\}=P\{X=1\}=\displaystyle\frac{1}{2}, \Phi(x)$表示标准正态分布函数，利用中心极限定理可得 $P\left\{\displaystyle\sum_{i=1}^{100} X_{i} \leqslant 55\right\}$ 的近似值为（）。
$\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0}\left[\displaystyle\frac{1}{\mathrm{e}^{x}-1}-\displaystyle\frac{1}{\ln (1+x)}\right]=$ $\_\_\_\_$。
设 $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{t^{2}+1}, \\ y=\ln \left(t+\sqrt{t^{2}+1}\right),\end{array}\right.$ 则 $\left.\displaystyle\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}\right|_{t=1}=$ $\_\_\_\_$ ．
设函数 $f(x)$ 满足 $f^{\prime \prime}(x)+a f^{\prime}(x)+f(x)=0(a\gt 0)$ ，且 $f(0)=m, f^{\prime}(0)=n$ ，则 $\displaystyle\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
12 ）设函数 $f(x, y)=\displaystyle\int_{0}^{x y} \mathrm{e}^{x t^{2}} \mathrm{~d} t$ ，则 $\left.\displaystyle\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}\right|_{(1,1)}=$ $\_\_\_\_$ ．
行列式 $\left|\begin{array}{cccc}a & 0 & -1 & 1 \\ 0 & a & 1 & -1 \\ -1 & 1 & a & 0 \\ 1 & -1 & 0 & a\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．
设 $X$ 服从区间 $\left(-\displaystyle\frac{\pi}{2}, \displaystyle\frac{\pi}{2}\right)$ 上的均匀分布，$Y=\sin X$ ，则 $\operatorname{Cov}(X, Y)=$ $\_\_\_\_$
计算曲线积分 $I=\displaystyle\int_{L} \displaystyle\frac{4 x-y}{4 x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x+\displaystyle\frac{x+y}{4 x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y$ ，其中 $L$ 是 $x^{2}+y^{2}=2$ ，方向为逆时针方向．
设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足：$a_{1}=1,(n+1) a_{n+1}=\left(n+\displaystyle\frac{1}{2}\right) a_{n}$ ，证明：当 $|x|\lt 1$ 时，幂级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$收敛，并求其和函数．
根据题目开头信息，补全后的完整题目如下（2020年考研数学一第18题）：
18. 设 $\Sigma$ 为曲面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\left(1 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 4\right)$ 的下侧，$f(x)$ 是连续函数，计算
[ I=\iint_{\Sigma}[x f(x y)+2 x-y] \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+[y f(x y)+2 y+x] \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+[z f(x y)+z] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y . ]
设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,2]$ 上具有连续导数，$f(0)=f(2)=0, M=\max _{x \in[0,2]}\{|f(x)|\}$ ，证明： （I）存在 $\xi \in(0,2)$ ，使得 $\left|f^{\prime}(\xi)\right| \geqslant M$ ； （II）若对任意的 $x \in(0,2),\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant M$ ，则 $M=0$ ．
设二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}\right)=x_{1}^{2}-4 x_{1} x_{2}+4 x_{2}^{2}$ 经正交变换 $\binom{x_{1}}{x_{2}}=Q\binom{y_{1}}{y_{2}}$ 化为二次型 $g\left(y_{1}, y_{2}\right)=a y_{1}^{2}+4 y_{1} y_{2}+b y_{2}^{2}$ ，其中 $a \geqslant b$ ． （I）求 $a, b$ 的值； （II）求正交矩阵 $Q$ 。
设 $\boldsymbol{A}$ 为 2 阶矩阵， $\boldsymbol{P}=(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha})$ ，其中 $\boldsymbol{\alpha}$ 是非零向量且不是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量。 （I）证明 $\boldsymbol{P}$ 为可逆矩阵； （II）若 $\boldsymbol{A}^{2} \boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}-6 \boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0}$ ，求 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}$ ，并判断 $\boldsymbol{A}$ 是否相似于对角矩阵。
设随机变量 $X_{1}, X_{2}, X_{3}$ 相互独立，其中 $X_{1}$ 与 $X_{2}$ 均服从标准正态分布，$X_{3}$ 的概率分布为 $P\left\{X_{3}=0\right\}=P\left\{X_{3}=1\right\}=\displaystyle\frac{1}{2} . Y=X_{3} X_{1}+\left(1-X_{3}\right) X_{2}$ 。 （I）求二维随机变量 $\left(X_{1}, Y\right)$ 的分布函数，结果用标准正态分布函数 $\Phi(x)$ 表示； （II）证明随机变量 $Y$ 服从标准正态分布。
设某元件的使用寿命 $T$ 的分布函数为
$$
F(t)= \begin{cases}1-\mathrm{e}^{-\left(\frac{t}{\theta}\right)^{m}}, & t \geqslant 0, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}
$$
其中 $\theta, m$ 为参数且大于零。
（I）求概率 $P\{T\gt t\}$ 与 $P\{T\gt s+t \mid T\gt s\}$ ，其中 $s\gt 0, t\gt 0$ ；
（II）任取 $n$ 个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为 $t_{1}, t_{2}, \cdots, t_{n}$ ，若 $m$ 已知，求 $\theta$的最大似然估计值 $\hat{\theta}$ ．