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二重积分的概念（曲顶柱体体积、平面薄片质量）

考研数学一强化题库 · 共 14 道习题 · 第1页/共1页

### 第112题设区域 $D$ 是 $x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ 在第一、四象限的部分，$f(x, y)$ 在 $D$ 上连续，则二重积分 $\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$ （A） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{-1}^{1} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．（B） $\int_{-1}^{1} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\sqrt{1-y^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} x$ ．（C） $2 \int_{-1}^{1} \mathrm{~d} x \int_{1}^{\sqrt{1-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．（D） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{1} f(r, \theta) \mathrm{d} r$ ．

### 第114题设 $L$ 是圆周 $x^{2}+y^{2}=1$（按逆时针方向绕行），$I=\int_{L} x y^{3} \mathrm{~d} y-y x^{2} \mathrm{~d} x, J=\int_{L} y x^{4} \mathrm{~d} x+x y^{4} \mathrm{~d} y$ ， $K=\int_{L} x y^{3} \mathrm{~d} y+y x^{2} \mathrm{~d} x$ ，则（A）$I

### 第116题设 $\Sigma: z^{2}=x^{2}+y^{2}(0 \leqslant z \leqslant 1), \Sigma_{1}$ 为 $\Sigma$ 在第一卦限中的部分，则有（A） $\iint_{\Sigma} x^{3} \mathrm{~d} S=4 \iint_{\Sigma_{1}} x^{3} \mathrm{~d} S$ ．（B） $\iint_{\Sigma} z^{2} \mathrm{~d} S=8 \iint_{\Sigma_{1}} x^{2} \mathrm{~d} S$ ．（C） $\iint_{\Sigma} y \mathrm{~d} S=4 \iint_{\Sigma_{1}} y \mathrm{~d} S$ ．（D） $\iint_{\Sigma} x^{3} y^{2} z \mathrm{~d} S=4 \iint_{\Sigma_{1}} x^{3} y^{2} z \mathrm{~d} S$ ．

### 第119题曲面积分 $\iint_{\Sigma} z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 在数值上等于（A）面密度为 $z^{2}$ 的曲面 $\Sigma$ 的质量．（B）向量 $z^{2} i$ 穿过曲面 $\Sigma$ 的流量．（C）向量 $z^{2} j$ 穿过曲面 $\Sigma$ 的流量．（D）向量 $z^{2} k$ 穿过曲面 $\Sigma$ 的流量．

### 第130题已知曲线 $y=y(x)$ 经过原点，且在原点的切线平行于直线 $2 x-y-5=0$ ，而 $y(x)$ 满足 $y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=\mathrm{e}^{3 x}$ ，则 $y(x)$ 等于（A） $\sin 2 x$ ．（B）$\displaystyle \frac{1}{2} x^{2} \mathrm{e}^{2 x}+\sin 2 x$ ．（C）$\displaystyle \frac{x}{2}(x+4) \mathrm{e}^{3 x}$ ．（D）$\left(x^{2} \cos x+\sin 2 x\right) \mathrm{e}^{3 x}$ ． ## 解答题

### 第161题求二重积分 $I=\iint_{D}\left(\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}+x^{5} \sin ^{2} y\right) \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D$ 为 $x^{2}+y^{2}=1$ 的上半圆与 $x^{2}+y^{2}=2 y$ 的下半圆所围成的区域．建设荅题时问 $\leqslant 12 \mathrm{~min}$ 的形式，其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．

### 第165题计算积分 $I=\iint_{\Sigma} y \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-x \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\Sigma$ 为锥面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被平面 $z= 1, z=2$ 所截部分的外侧．

### 第321题设随机变量 $(X, Y)$ 在单位圆 $D: x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ 内服从均匀分布，试求 $X$ 和 $Y$ 的相关系数 $\rho_{X Y}$ 。

### 第41题 D$ 是由直线 $y=x, y=\pi, x=0$ 所围成的平面区域，则二重积分 $\iint_{D} \frac{\sin x}{\pi-x} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．$

### 第43题 \iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant 1}$\left[(x+1)^{2}+2 y^{2}\right] \mathrm{d} \sigma=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第44题设 $a>0, f(x)=g(x)=\left\{\begin{array}{ll}a, & 0 \leqslant x \leqslant 1, \\ 0, & \text { 其他．}\end{array} \quad D\right.$ 表示全平面，则 $\iint_{D} f(x) g(y-x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．建议谷题时闪 $\leqslant 2 \mathrm{~min}$ 熟䋘

### 第48题上半球面 $\Sigma: z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 的形心为 $\_\_\_\_$ ． ## 管题区域

### 第49题设曲线 $\Gamma$ 为 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}(z \geqslant 0, a>0)$ 与 $x^{2}+y^{2}=a x$ 的交线，从 $x$ 轴正向看去为逆时针方向．则曲线积分 $I=\oint_{\Gamma} y^{2} \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} y+x^{2} \mathrm{~d} z=$ $\_\_\_\_$。建议谷题时问 $\leqslant 2 \mathrm{~min}$ （1）

### 第59题设 $y=\left(C_{1}+x\right) \mathrm{e}^{x}+C_{2} \mathrm{e}^{-x}$ 是 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=g \mathrm{e}^{c x}$ 的通解，则常数 $a, b, c, g$ 分别是煡设荅题时间［］］［］

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