原函数与不定积分的概念

### 第56题 x y^{\prime}=y($\ln y-\ln x)$ 的通解为 $\_\_\_\_$ ．

### 第61题 设定义在 $(-\infty,+\infty)$ 上的连续函数 $f(x)$ 的图形关于 $x=0$ 与 $x=1$ 均对称，则下列命题中，正确命题为 （1）若 $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 为周期函数． （2）若 $\int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 为周期函数． （3） $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t-x \int_{0}^{2} f(t) \mathrm{d} t$ 为周期函数． （4） $\displaystyle \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t-\frac{x}{2} \int_{0}^{2} f(t) \mathrm{d} t$ 为周期函数． （A）（2）（3）． （B）（2）（4）． （C）（1）（2）（3）． （D）（1）（2）（4）．

### 第86题 设函数 $f(x)=\int_{0}^{x}\left(t^{2}-4 t+3\right) \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t, x \in[0,3]$ ，则下列命题中，正确的是 （A）$f(x)$ 为单调函数． （B） $4 \mathrm{e}-9$ 为 $f(x)$ 的一个上界． （C）$f(x)$ 的最小值为 0 ． （D）$f(x)$ 不存在最大值．

### 第87题 设 $(-\infty,+\infty)$ 上的非负连续函数 $f(x)$ 满足 $f(x) f(1-x)=1$ ，则 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\left|x-\frac{1}{2}\right|}{1+f(x)} \mathrm{d} x=$ （A）$\displaystyle \frac{1}{16}$ ． （B）$\displaystyle \frac{1}{8}$ ． （C）$\displaystyle \frac{1}{4}$ ． （D）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ．

### 第88题 若 $\displaystyle \frac{\sin \xi}{\xi}, \frac{\sin \eta}{\eta}$ 分别为 $\displaystyle \frac{\sin x}{x}$ 在 $(0,1)$ 和 $(0, a)(0\eta$ ． （D）从已知条件无法确定．

### 第91题 设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，下述 4 个命题 （1）对任意正常数 $a, \int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d} x=0 \Leftrightarrow f(x)$ 为奇函数． （2）对任意正常数 $a, \int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d} x=2 \int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x \Leftrightarrow f(x)$ 为偶函数． （3）对任意正常数 $a$ 及常数 $\omega>0, \int_{a}^{a+\omega} f(x) \mathrm{d} x$ 与 $a$ 无关 ⇔ $f(x)$ 有周期 $\omega$ ． （4） $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 对 $x$ 有周期 $\omega \Leftrightarrow \int_{0}^{\omega} f(t) \mathrm{d} t=0$ ． 正确的命题个数为 （A） 4 个． （B） 3 个． （C） 2 个． （D） 1 个．

### 第92题 设函数 $f(x)$ 连续且以 $T$ 为周期，则下列函数中以 $T$ 为周期的函数为 （A） $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ． （B） $\int_{-x}^{0} f(t) \mathrm{d} t$ ． （C） $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t-\int_{-x}^{0} f(t) \mathrm{d} t$ ． （D） $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t+\int_{-x}^{0} f(t) \mathrm{d} t$ ．

### 第95题 设 $\displaystyle M=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\left(\frac{\tan x}{1+x^{4}}+x^{8}\right) \mathrm{d} x, N=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\left[\sin ^{8} x+\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)\right] \mathrm{d} x, P=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\left(\tan ^{4} x+\right. \left.\mathrm{e}^{x} \cos x-\mathrm{e}^{-x} \cos x\right) \mathrm{d} x$ ，则有 （A）$P>N>M$ ． （B）$N>P>M$ ． （C）$N>M>P$ ． （D）$P>M>N$ ．

### 第96题 设 $\displaystyle f(x)=\int_{-1}^{x} t \cos t \mathrm{~d} t, x \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ ，则曲线 $y=f(x)$ 与 $x$ 轴所围图形的面积为 （A） $2 \int_{0}^{1} x \sin x \mathrm{~d} x$ ． （B） $2 \int_{0}^{1} x^{2} \sin x \mathrm{~d} x$ ． （C） $2 \int_{0}^{1} x \cos x \mathrm{~d} x$ ． （D） $2 \int_{0}^{1} x^{2} \cos x \mathrm{~d} x$ ．

### 第97题 记曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t), \\ y=a(1-\cos t)\end{array}(a>0,0 \leqslant t \leqslant 2 \pi)\right.$ 与 $x$ 轴所围区域为 $D . D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体体积为 $V_{1}$ ，绕直线 $y=2 a$ 旋转一周所得旋转体体积为 $V_{2}$ ，则 （A）$V_{1}V_{2}$ ． （D）$V_{1}, V_{2}$ 的大小关系与 $a$ 有关．

### 第98题 设在区间 $[-1,1]$ 上，$|f(x)| \leqslant x^{2}, f^{\prime \prime}(x)>0$ ，记 $I=\int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ，则 （A）$I=0$ ． （B）$I>0$ ． （C）$I<0$ ． （D）$I$ 的正负不确定． 建设容题时间 $\leqslant 5 \mathrm{~min}$