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原函数与不定积分的概念

考研数学一强化题库 · 共 51 道习题 · 第2页/共3页

### 第24题已知 $f^{\prime}(x) \cdot \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=8$ ，且 $f(0)=0, f(x) \geqslant 0$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第25题已知函数 $\displaystyle f(x)=\frac{\int_{0}^{x}|\sin t| \mathrm{d} t}{x^{\alpha}}$ 在 $(0,+\infty)$ 上有界，则 $\alpha$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．

### 第259题在区间 $(0,1)$ 中随机地取出两个数，则＂两数之积小于 $\displaystyle \frac{1}{2}$＂的概率为 $\_\_\_\_$ ．

### 第26题若函数 $f(x)$ 满足微分方程 $f^{\prime \prime}(x)+a f^{\prime}(x)+f(x)=0$ ，其中 $a=2 \int_{0}^{2} \sqrt{2 x-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ， $f(0)=\alpha, f^{\prime}(0)=\beta$ ，则 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第270题假设随机变量 $X$ 在 $[-1,1]$ 上服从均匀分布，$a$ 是区间 $[-1,1]$ 上的一个定点，$Y$ 为点 $X$ 到 $a$ 的距离，当 $a=$ $\_\_\_\_$时，随机变量 $X$ 与 $Y$ 不相关．

### 第271题已知随机变量 $X$ 在 $(1,2)$ 上服从均匀分布，在 $X=x(1

### 第28题曲线 $y=\mathrm{e}^{-x} \sqrt{\sin x}(x \geqslant 0)$ 与 $x$ 轴围成区域绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体体积为 $\_\_\_\_$。

### 第29题曲线 $y=x^{2}, x$ 轴与 $x=1$ 围成的曲边三角形绕 $x$ 轴旋转一周产生的旋转体的形心 $x$ 坐标等于 $\_\_\_\_$ ．

### 第299题设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}2 x, & 0

### 第30题常数 $a>0$ ，心形线 $r=a(1+\cos \theta)$ 一周的长度 $=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第311题设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立，$X \sim N(0,1), Y \sim U[0,1], Z=X+Y$ ，求 $Z$ 的概率密度函数 $f_{Z}(z)$ ．建议荅题时问 $\leqslant 7 \mathrm{~min}$

### 第316题设随机变量 $X$ 和 $Y$ 独立同分布，已知 $X \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ ，求 $Z=\min (X, Y)$ 的数学期望 $E(Z)$ ．

### 第319题设随机变量 $X_{1}, X_{2}$ 相互独立，$X_{1} \sim E(1), X_{2} \sim E(\lambda)(\lambda>0)$ 。令 $Y=\min \left\{X_{1}, X_{2}\right\}$ ， $Z=\max \left\{X_{1}, 1\right\}$ ．求：（1）$Y$ 的概率密度 $f_{Y}(y)$ ；（2）$P\left\{\left|X_{1}\right|>2 \mid X_{1}>1\right\}$ ；（3）$Z$ 的数学期望 $E(Z)$ ．

### 第322题设 $X \sim N(0,1)$ ，试证：$E\left(X^{k}\right)=\left\{\begin{array}{cl}(k-1)(k-3) \cdots 1, & k \text { 为正偶数，} \\ 0, & k \text { 为正奇数．}\end{array}\right.$

### 第327题设总体 $X$ 的概率密度为 $$ f(x)=\left\{\begin{array}{cc} $\displaystyle \frac{6 x}{\theta^{3}}(\theta-x), & 0

### 第38题函数 $f(x, y)$ 满足 $f(1,1)=0$ ，且 $f_{x}^{\prime}(x, y)=2 x-2 x y^{2}, f_{y}^{\prime}(x, y)=4 y-2 x^{2} y$ ，则函数 $f(x, y)$ 的极小值为 $\_\_\_\_$ ．

### 第40题设 $z(x, y)=\int_{0}^{x} \mathrm{~d} t \int_{t}^{x} f(t+y) g(y u) \mathrm{d} u$ ，其中 $f$ 连续，$g$ 有连续的一阶导数，则 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第45题设 $\Omega$ 是由 $z=x^{2}+y^{2}$ 和 $z=1$ 所围成的空间体，则 $I=\iiint_{\Omega}(x+2 y+z)^{2} \mathrm{~d} v=$ $\_\_\_\_$ ．体估

### 第46题有一金属丝呈半圆形 $L:\left\{\begin{array}{l}x=a \cos t \\ y=a \sin t\end{array}(0 \leqslant t \leqslant \pi)\right.$ ，其上每一点的密度都等于该点的纵坐标，则该金属丝的质量为 $\_\_\_\_$ ．建衩答题时问 $\leqslant 4 \mathrm{~min}$

### 第55题已知 $f(x)$ 是微分方程 $x f^{\prime}(x)-f(x)=\sqrt{2 x-x^{2}}$ 满足初始条件 $f(1)=0$ 的特解，则积分 $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．建设谷题时问体佔

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