偏导数的定义及其计算法

### 第10题 10．已知 $\displaystyle z=u^{2} \cos v, u=x y, v=2 x+y, \frac{\partial z}{\partial x}=$ $\_\_\_\_$ ，$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第102题 102 设函数 $f(u, v)$ 可微，$z=z(x, y)$ 由方程 $(x+1) z-y^{2}=x^{2} f(x-z, y)$ 确定，则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0,1)}=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第240题 240 函数 $f(x, y)$ 的两个偏导数在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续是函数 $f(x, y)$ 在该点处可微的 （A）充分但非必要条件． （B）必要但非充分条件． （C）充分必要条件． （D）既不充分也不必要条件．

### 第241题 241 设函数 $f(x, y)$ 可微，且对任意 $x, y$ 都有 $\displaystyle \frac{\partial f(x, y)}{\partial x}>0, \frac{\partial f(x, y)}{\partial y}<0$ ，则使不等式 $f\left(x_{1}, y_{1}\right)x_{2}, y_{1}x_{2}, y_{1}>y_{2}$ ． （C）$x_{1}y_{2}$ ．

### 第244题 244 设函数 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} f\left(\frac{y}{x}\right)$ ，且 $f(u)$ 可导，若 $\displaystyle x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{2 y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ ，则 （A）$f(1)=1, f^{\prime}(1)=0$ ． （B）$f(1)=0, f^{\prime}(1)=1$ ． （C）$f(1)=0, f^{\prime}(1)=0$ ． （D）$f(1)=1, f^{\prime}(1)=1$ ．

### 第249题 249 设 $F(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，且 $F\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, F_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, F_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)>0$ ．若一元函数 $y=y(x)$ 是由方程 $F(x, y)=0$ 所确定的在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 附近的隐函数，则 $x_{0}$ 是函数 $y=y(x)$ 的极小值点的一个充分条件是 （A）$F_{x x}^{\prime \prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)>0$ ． （B）$F_{x x}^{\prime \prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)<0$ ． （C）$F_{y y}^{\prime \prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)>0$ ． （D）$F_{y y}^{\prime \prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)<0$ ．

### 第5题 5．设函数 $\displaystyle z=\frac{x+y}{x-y}$ ，则 $\mathrm{d} z=$ （A）$\displaystyle \frac{2(x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x)}{(x-y)^{2}}$ ． （B）$\displaystyle \frac{2(y \mathrm{~d} x-x \mathrm{~d} y)}{(x-y)^{2}}$ ． （C）$\displaystyle \frac{2(x \mathrm{~d} x-y \mathrm{~d} y)}{(x-y)^{2}}$ ． （D）$\displaystyle \frac{2(y \mathrm{~d} y-x \mathrm{~d} x)}{(x-y)^{2}}$ ．

### 第6题 6．设 $f(x+y, x y)=x^{2}+y^{2}$ ，则 $\displaystyle \frac{\partial f(x, y)}{\partial x}+\frac{\partial f(x, y)}{\partial y}=$ （A） $2 x-2$ ． （B） $2 x+2$ ． （C）$x-1$ ． （D）$x+1$ ．

### 第85题 85 设 $u=u\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)\left(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}>0\right)$ 有二阶连续的偏导数，且满足 $$ $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}-\frac{1}{x} \frac{\partial u}{\partial x}+u=x^{2}+y^{2}$ $$ 则 $u\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第87题 87 设 $z=\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{x+y}+y^{2}+(x+y)^{3}$ ，则 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第89题 89 设 $f(x, y)=\ln |x+y|-\sin (x y)$ ，则 $\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}$ 在点 $(1, \pi)$ 处的值为 $\_\_\_\_$ ．

### 第91题 91 设 $z=\mathrm{e}^{x y}+f(x+y, x y), f(u, v)$ 有二阶连续偏导数，则 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=$ $\_\_\_\_$ ．