原函数与不定积分的概念

### 第74题 74 设 $a>0$ ，则 $\displaystyle I=\int_{-a}^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} \ln \frac{x+\sqrt{1+x^{2}}}{3} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第75题 75 设 $f(x)$ 是以 $T$ 为周期的连续函数， $\int_{0}^{T} f(x) \mathrm{d} x=A$ ，则 $\int_{0}^{2 T} f(3 x+T) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第80题 80 微分方程 $y y^{\prime \prime}+2\left(y^{\prime}\right)^{2}=0$ 满足初始条件 $y(0)=1, y^{\prime}(0)=-1$ 的特解是 $\_\_\_\_$。

### 第9题 9．已知 $f(2)=2, \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=4, \int_{0}^{2} x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$。

### 第90题 90 已知可微函数 $f(u, v)$ 满足 $\displaystyle \frac{\partial f(u, v)}{\partial u}+\frac{\partial f(u, v)}{\partial v}=(u+v) \mathrm{e}^{v}$ ，且 $f(0, v)=(v-2) \mathrm{e}^{v}$ ．求 $f(x, x+y)=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第93题 93 设函数 $f(u, v)$ 具有二阶连续偏导数，且满足 $\displaystyle 4 \frac{\partial^{2} f}{\partial u^{2}}-\frac{\partial^{2} f}{\partial v^{2}}=1$ ，又 $g(x, y)=f\left(x^{2}+\right. \left.y^{2}, x y\right)$ ，则 $\displaystyle \frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ． 94设 $z=\int_{0}^{1}|x y-t| f(t) \mathrm{d} t, 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1$ ，其中 $f(x)$ 为连续函数，则 $z_{x x}^{\prime \prime}+z_{y y}^{\prime \prime}=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第95题 95 设 $f(x), g(x)$ 可微，$u(x, y)=f(2 x+5 y)+g(2 x-5 y)$ ，且满足 $u(x, 0)=\sin 2 x$ ， $u_{y}^{\prime}(x, 0)=0$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ． 96设 $z=f(x, y)$ 满足 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=x+y$ ，且 $f(x, 0)=x, f(0, y)=y^{2}$ ，则 $f(x, y)=$ $\_\_\_\_$ ．