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原函数与不定积分的概念

考研数学三基础题库 · 共 107 道习题 · 第5页/共6页

### 第591题 $\displaystyle 591 x y^{\prime \prime}=y^{\prime}+x \sin \frac{y^{\prime}}{x}$ 的通解是 $\_\_\_\_$ ．

### 第594题 594 方程 $\left(y+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} x-x \mathrm{~d} y=0$ 满足条件 $y(1)=0$ 的特解为 $\_\_\_\_$ ．

### 第60题 $60 I=\int_{0}^{1}\left[\sqrt{2 x-x^{2}}-\sqrt{\left(1-x^{2}\right)^{3}}\right] \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第600题 600 某银行账户，以连续复利方式计息年利率为 $5 \%$ ，希望连续20年以每年12000元的速率取款，若 $t$ 以年为单位，为使 20 年后账户中余额为零，则初始存入的数额为 $\_\_\_\_$元．

### 第61题 61 设 $f(x)$ 为连续函数，$\varphi$ 为常数， $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} f(\sin (x+\varphi)) \mathrm{d} x=A \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \mathrm{d} x$ ，则 $A=$ $\_\_\_\_$。

### 第62题 $\displaystyle 62 f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x \mathrm{e}^{-x^{2}}, & x \geqslant 0 \\ \frac{1}{1+\cos x}, & -1

### 第621题 621 当 $x \rightarrow 0$ 时，下述一些无穷小与 $x^{3}$ 为同阶无穷小的是（A）$\alpha(x)=x^{3}+x^{2}$ ．（B）$\displaystyle \beta(x)=\frac{1-\cos x}{x}$ ．（C）$\gamma(x)=\int_{0}^{\ln (1+x)}\left(\mathrm{e}^{t^{2}}-1\right) \mathrm{d} t$ ．（D）$\delta(x)=(1+\sin x)^{\ln (1+x)}-1$ ．

### 第624题 624 将 $x \rightarrow 0^{+}$时的三个无穷小量 $\alpha=\int_{0}^{x} \cos t^{2} \mathrm{~d} t, \beta=\int_{0}^{x^{2}} \sin \sqrt{t} \mathrm{~d} t, \gamma=\sqrt{1-x^{2}}-1$ 排列起来，使得排在后面一个是前面一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（A）$\alpha, \beta, \gamma$ ．（B）$\alpha, \gamma, \beta$ ．（C）$\beta, \alpha, \gamma$ ．（D）$\beta, \gamma, \alpha$ ．

### 第63题 63 设 $f(x)$ 是定义于 $x \geqslant 1$ 的正值连续函数，则 $$ F(x)=\int_{1}^{x}\left[\left(\frac{2}{x}+\ln x\right)-\left(\frac{2}{t}+\ln t\right)\right] f(t) \mathrm{d} t(x \geqslant 1) $$ 的极小值点是 $x=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第634题 634 设 $A, B, C$ 为待定常数，则差分方程 $y_{t+1}-y_{t}=t^{2}-1$ 的特解具有形式（A） $\bar{y}(t)=A t^{2}+B$ ．（B） $\bar{y}(t)=A t^{3}+B t^{2}+C t$ ．（C） $\bar{y}(t)=A t^{3}+B t^{2}$ ．（D） $\bar{y}(t)=A t^{2}+B t+C$ ．

### 第64题 64 定积分 $\displaystyle I=\int_{0}^{\pi} \frac{x|\sin x \cos x|}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第65题 65 设 $f(x)=\max \left\{1, x^{2}\right\}$ ，则 $\int_{1}^{x} f(t) \mathrm{d} t=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第66题 66 在曲线 $y=x^{2}(0 \leqslant x \leqslant 1)$ 上取一点 $\left(t, t^{2}\right)(0

### 第67题 $\displaystyle 67 \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{2 x^{2}-1}}=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第69题 $\displaystyle 69 \int_{0}^{+\infty} \frac{x \mathrm{e}^{-x}}{\left(1+\mathrm{e}^{-x}\right)^{2}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$。

### 第7题 7．不定积分 $\displaystyle \int \frac{\arctan x}{x^{2}\left(1+x^{2}\right)} \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第70题 70 椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 绕 $x$ 轴旋转一周的体积为 $\_\_\_\_$ ．

### 第71题 71 若不定积分 $\displaystyle \int \frac{x^{2}+a x+2}{(x+1)\left(x^{2}+1\right)} \mathrm{d} x$ 的结果中不含反正切函数，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．组鿏笔记

### 第72题 72 不定积分 $\displaystyle I=\int \frac{x+2}{2 x^{2}+x+1} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第73题 $\displaystyle 73 I=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(1+x) \cos x}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

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