原函数与不定积分的概念

### 第215题 215 设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，在 $(0,+\infty)$ 内有连续导数且 $$ x \int_{0}^{1} f(t x) \mathrm{d} t+2 \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=x f(x)+x^{3} $$ 则可得 （A）$f(x)=C x^{2}-3 x^{2} \ln (1+x)(x \in[0,+\infty))$ ，（ $C$ 为任意常数）． （B）$f(x)=x^{2}-3 x^{2} \ln (1+x)(x \in[0,+\infty))$ ． （C）$f(x)=\left\{\begin{array}{cc}C x^{2}-3 x^{2} \ln x, & x>0 \\ 0, & x=0\end{array},(C\right.$ 为任意常数）． （D）$f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{2}-3 x^{2} \ln x, & x>0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ ．

### 第216题 216 设 $L$ 是连接两点 $A(0,1)$ 与 $B(1,0)$ 的一条凸弧，$P(x$ ， $y)$ 是 $L$ 上的任意一点．已知凸弧 $L$ 与弦 $A P$ 围成的平面图形的面积等于 $x^{4}$ ，则 $L$ 的方程是 （A） $1-3 x+4 x^{3}$ ． （B） $1-4 x+3 x^{3}$ ． （C） $1+3 x-4 x^{3}$ ． （D） $1+4 x-3 x^{3}$ ．

### 第223题 223 设 $f(x)$ 具有一阶连续导数，$f(0)=0, \mathrm{~d} u(x, y)=f(x) y \mathrm{~d} x+[\sin x-f(x)] \mathrm{d} y$ ，则 $f(x)$ 等于 （A） $\cos x+\sin x-1$ ． （B）$\displaystyle \frac{1}{2}\left(\cos x+\sin x-\mathrm{e}^{-x}\right)$ ． （C） $\cos x-\sin x+x \mathrm{e}^{x}$ ． （D） $\cos x-\sin x+x \mathrm{e}^{-x}$ ．

### 第225题 225 设函数 $f(x)$ 连续，且满足 $f(x)=\cos 2 x-4 \int_{0}^{x}(x-t) f(t) \mathrm{d} t$ ，则 $f(x)=$ （A） $\cos 2 x-x \sin 2 x$ ． （B） $\cos 2 x+x \sin 2 x$ ． （C） $\sin 2 x-x \cos 2 x$ ． （D） $\sin 2 x+x \cos 2 x$ ．

### 第242题 242 设可微函数 $f(x, y)$ 满足 $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}>1, \frac{\partial f}{\partial y}<-1, f(0,0)=0$ ，则下列结论正确的是 （A）$f(1,1)>1$ ． （B）$f(-1,1)>-2$ ． （C）$f(-1,-1)<0$ ． （D）$f(1,-1)>2$ ．

### 第246题 246 已知 $\mathrm{d} f(x, y)=\left(2 y^{2}+2 x y+3 x^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(4 x y+x^{2}\right) \mathrm{d} y$ ，则 $f(x, y)=$ （A） $2 x y^{2}+x^{2} y$ ． （B） $2 x y^{2}+x^{2} y+x^{3}$ ． （C） $2 x y^{2}+x^{2} y+x^{3}+C$ ． （D） $3 x y^{2}+x^{2} y+x^{3}+C$ ．

### 第257题 257 累次积分 $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{1} f(x, y) \mathrm{d} y+\int_{1}^{2} \mathrm{~d} y \int_{0}^{2-y} f(x, y) \mathrm{d} x$ 可写成 （A） $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{x}^{2-x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． （B） $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} y \int_{y}^{2-y} f(x, y) \mathrm{d} x$ ． （C） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{2-x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． （D） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{2-y} f(x, y) \mathrm{d} x$ ．

### 第260题 260 累次积分 $\displaystyle I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}}^{1} \frac{x y}{\sqrt{1+y^{3}}} \mathrm{~d} y=$ （A）$\displaystyle \frac{1}{4}(\sqrt{2}-1)$ ． （B）$\displaystyle \frac{1}{3}(\sqrt{2}-1)$ ． （C）$\displaystyle \frac{1}{4}(\sqrt{2}+1)$ ． （D）$\displaystyle \frac{1}{3}(\sqrt{2}+1)$ ．

### 第3题 3．$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_{0}^{x^{2}} \sin t \mathrm{~d} t=$ （A） $\sin x$ ． （B） $\sin x^{2}$ ． （C） $2 x \sin x^{2}$ ． （D） $2 x \cos x^{2}$ ．