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原函数与不定积分的概念

考研数学三基础题库 · 共 107 道习题 · 第2页/共6页

### 第183题 183 下述结论不正确的是（A） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan x}{x} \mathrm{~d} x<1$ ．（B） $\int_{0}^{2 \pi} \cos x \cdot \ln (2+\cos x) \mathrm{d} x>0$ ．（C） $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x<0$ ．（D） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x>1$ ．

### 第184题 184 设 $\displaystyle M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(1+x)^{2}}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x, N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+x}{\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x, K=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1+\sqrt{\cos x}) \mathrm{d} x$ ，则（A）$M>N>K$ ．（B）$M>K>N$ ．（C）$K>M>N$ ．（D）$K>N>M$ ．

### 第185题 185 设 $\displaystyle I_{1}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x, I_{2}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x}{\sin x} \mathrm{~d} x$ ，则（A）$I_{1}<1

### 第187题 $187 \quad I=\int_{0}^{\pi} x \sqrt{\cos ^{2} x-\cos ^{4} x} \mathrm{~d} x=$ （A）$\pi$ ．（B）$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ ．（C）$\displaystyle \frac{\pi}{3}$ ．（D）$\displaystyle \frac{\pi}{4}$ ．

### 第188题 $\displaystyle 188 I=\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{x(1-x)}} \mathrm{d} x=$ （A）$\pi$ ．（B）$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ ．（C）$\displaystyle \frac{\pi}{4}$ ．（D）$\displaystyle \frac{\pi}{8}$ ．

### 第189题 $\displaystyle 189 I=\int_{0}^{1} x^{4} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \mathrm{~d} x=$ （A）$\displaystyle \frac{3}{8}+\frac{8}{15} \pi$ ．（B）$\displaystyle \frac{3}{16} \pi+\frac{8}{15}$ ．（C）$\displaystyle \frac{3}{16}+\frac{8}{15} \pi$ ．（D）$\displaystyle \frac{3}{16} \pi+\frac{8}{5} \pi$ ．

### 第191题 191 设 $\sin x \ln |x|$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则不定积分 $\int x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=$ （A）$\displaystyle x \cos x \ln |x|+x \cdot \frac{\sin x}{|x|}-\sin x \ln |x|+C$ ．（B）$x \cos x \ln |x|+\sin x-\sin x \ln |x|+C$ ．（C） $\displaystyle \cos x \ln |x|-\frac{\sin x}{|x|}-\sin x \ln |x|+C$ ．（D）以上均不正确． 192 $$ $\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} x} \int_{2 x}^{\ln x} \ln (1+t) \mathrm{d} t=$ $$

### 第194题 194 设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\sqrt{4+x}, & x>0 \\ 0, & x=0, \\ \sqrt{1-x}, & x<0\end{array} \quad F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right.$ ，则（A）$F(x)$ 在 $x=0$ 点不连续．（B）$F(x)$ 在 $x=0$ 点不可导．（C）$F(x)$ 在 $x=0$ 点可导，$F^{\prime}(0)=f(0)$ ．（D）$F(x)$ 在 $x=0$ 点可导，但 $F^{\prime}(0) \neq f(0)$ ．

### 第196题 196 设 $f(x)$ 为以 $T$ 为周期的非零连续函数，$\Phi(x)=\int_{a}^{x}[f(t)-f(-t)] \mathrm{d} t, a$ 是常数，则（A）$\Phi(x)$ 是以 $T$ 为周期的偶函数．（B）$\Phi(x)$ 是以 $T$ 为周期的奇函数．（C）$\Phi(x)$ 是偶函数，但不一定以 $T$ 为周期．（D）$\Phi(x)$ 是奇函数，但不一定以 $T$ 为周期． 197函数 $F(x)=\int_{x}^{x+\pi} \ln \left(1+\cos ^{2} t\right) \cos 2 t \mathrm{~d} t$

### 第198题 $\displaystyle 198 I=\int_{\pi}^{\frac{3}{2} \pi} \sin ^{2} \theta \cos ^{5} \theta \mathrm{~d} \theta=$ （A）$\displaystyle -\frac{8}{105}$ ．（B）$\displaystyle -\frac{4}{35}$ ．（C）$\displaystyle \frac{4}{35}$ ．（D）$\displaystyle \frac{2}{105}$ ．

### 第199题 199 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{2}, & x \geqslant 0 \\ \cos x, & x<0\end{array}, g(x)=\left\{\begin{array}{cc}x \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.\right.$ ，则在区间 $(-1,1)$ 上（A）$f(x)$ 与 $g(x)$ 都存在原函数．（B）$f(x)$ 与 $g(x)$ 都不存在原函数．（C）$f(x)$ 存在原函数，$g(x)$ 不存在原函数．（D）$f(x)$ 不存在原函数，$g(x)$ 存在原函数．

### 第2题 2．设随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}2 x, & 0

### 第20题 20 设 $f(x)$ 连续，$x \rightarrow a$ 时 $f(x)$ 是 $x-a$ 的 $n$ 阶无穷小，则 $x \rightarrow a$ 时 $\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 是 $x-a$的 $\_\_\_\_$阶无穷小。（填阶数）

### 第205题 205 曲线 $\displaystyle y=\cos x\left(x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]\right)$ 与 $x$ 轴，$y$ 轴所围面积被曲线 $y=a \sin x$ 等分，则 $a=$ （A）$\displaystyle \frac{2}{5}$ ．（B）$\displaystyle \frac{3}{5}$ ．（C）$\displaystyle \frac{3}{4}$ ．（D）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ．

### 第206题 206 由曲线 $y=1-(x-1)^{2}$ 及直线 $y=0$ 围成图形绕 $y$ 轴旋转而成立体的体积 $V$ 是（A） $\int_{0}^{1} \pi(1+\sqrt{1+y})^{2} \mathrm{~d} y$ ．（B） $\int_{0}^{1} \pi(1-\sqrt{1-y})^{2} \mathrm{~d} y$ ．（C） $\int_{0}^{1} \pi[(1+\sqrt{1-y})-(1-\sqrt{1-y})]^{2} \mathrm{~d} y$ ．（D） $\int_{0}^{1} \pi\left[(1+\sqrt{1-y})^{2}-(1-\sqrt{1-y})^{2}\right] \mathrm{d} y$.

### 第208题 208 设 $f(x)$ 为连续函数， $\int_{1}^{2} f(x) \mathrm{d} x=1, F(t)=\int_{1}^{t}\left[f(y) \int_{y}^{t} f(x) \mathrm{d} x\right] \mathrm{d} y$ ，则 $F^{\prime}(2)=$ （A） $2 f(2)$ ．（B）$f(2)$ ．（C）$-f(2)$ ．（D） 0 ．

### 第209题 209 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 可导且 $f^{\prime}(x)<0(x \in(0,1))$ ，则（A）当 $0\int_{0}^{1} x f(t) \mathrm{d} t$ ．（B）当 $0

### 第21题 21 已知当 $x \rightarrow 0$ 时 $F(x)=\int_{0}^{x-\sin x} \ln (1+t) \mathrm{d} t$ 是 $x^{n}$ 的同阶无穷小，则 $n=$ $\_\_\_\_$ ． □ 纠署笔记

### 第210题 210 已知边际收益函数 $\displaystyle M R=\frac{a b}{(Q+b)^{2}}-k$ ，其中常数 $a>0, b>0, k>0$ ，则需求函数 $Q=Q(p)$ 的表达式为（A）$\displaystyle Q=\frac{a}{p+k}-b$ ．（B）$\displaystyle Q=\frac{b}{p+k}-a$ ．（C）$\displaystyle Q=\frac{k}{p+a}-b$ ．（D）$\displaystyle Q=\frac{k}{p+b}-a$ ．

### 第212题 212 设 $P(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，且以 $T$ 为周期，则 $\int_{0}^{T} P(x) \mathrm{d} x=0$ 是方程 $$ $\begin{equation*}$ $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+P(x) y=0 \tag{*}$ \end{equation*} $$ 有解 $y=y(x) \not \equiv 0$ 且以 $T$ 为周期的（A）必要非充分条件．（B）充分非必要条件．（C）充分且必要条件．（D）既不充分也不必要条件． □

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