原函数与不定积分的概念

### 第500题 500 假设随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)$ ，概率密度函数 $f(x)=a f_{1}(x)+b f_{2}(x)$ ，其中 $f_{1}(x)$ 是正态分布 $N\left(0, \sigma^{2}\right)$ 的概率密度函数，$f_{2}(x)$ 是参数为 $\lambda$ 的指数分布的概率密度函数，已知 $\displaystyle F(0)=\frac{1}{8}$ ，则 （A）$a=1, b=0$ ． （B）$\displaystyle a=\frac{3}{4}, b=\frac{1}{4}$ ． （C）$\displaystyle a=\frac{1}{2}, b=\frac{1}{2}$ ． （D）$\displaystyle a=\frac{1}{4}, b=\frac{3}{4}$ ．

### 第504题 504 设随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $f(x)$ ，则可以作出概率密度函数 （A）$f(2 x)$ ． （B）$f(2-x)$ ． （C）$f^{2}(x)$ ． （D）$f\left(x^{2}\right)$ ．

### 第508题 508 设随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{e}^{-x}, & x>0 \\ 0, & x \leqslant 0\end{array}\right.$ ，则 $P\{X \leqslant 2 \mid X \geqslant 1\}$ 的值为 （A） $\mathrm{e}^{-2}$ ． （B）$-\mathrm{e}^{-2}$ ． （C） $\mathrm{e}^{-1}$ ． （D） $1-\mathrm{e}^{-1}$ ．

### 第51题 51 设 $\int x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=\arctan x+C$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第52题 $\displaystyle 52 . I=\int \sqrt{\frac{3-2 x}{3+2 x}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第520题 520 设 $(X, Y)$ 具有概率密度函数 $\displaystyle f(x, y)=\frac{1+\sin x \sin y}{2 \pi} \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}+y^{2}}{2}}$ ，则 （A）$(X, Y)$ 服从二维正态，且 $X$ 与 $Y$ 均服从一维正态分布． （B）$(X, Y)$ 服从二维正态，但 $X$ 与 $Y$ 均不服从一维正态分布． （C）$(X, Y)$ 不服从二维正态，且 $X$ 与 $Y$ 均不服从一维正态分布． （D）$(X, Y)$ 不服从二维正态，但 $X$ 与 $Y$ 均服从一维正态分布．

### 第53题 $\displaystyle 53 I=\int \frac{\sqrt{x+1}+2}{(x+1)^{2}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第533题 533 设随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $f(x)$ ，则其数学期望 $E(X)=a$ ，如果成立 （A） $\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x-a) \mathrm{d} x=0$ ． （B） $\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x+a) \mathrm{d} x=0$ ． （C） $\displaystyle \int_{-\infty}^{a} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2}$ ． （D） $\displaystyle \int_{-\infty}^{a} x f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2}$ ．

### 第534题 534 设随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $f(x)$ ，数学期望 $E(X)=2$ ，则 （A） $\displaystyle \int_{-\infty}^{2} x f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2}$ ． （B） $\int_{-\infty}^{2} x f(x) \mathrm{d} x=\int_{2}^{+\infty} x f(x) \mathrm{d} x$ ． （C） $\displaystyle \int_{-\infty}^{2} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2}$ ． （D） $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} x f(2 x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2}$ ．

### 第537题 537 设随机变量 $X$ 服从标准正态分布 $N(0,1)$ ，则 $E\left[(X-2)^{2} \mathrm{e}^{2 X}\right]=$ （A） 1 ． （B） 2 ． （C） $\mathrm{e}^{2}$ ． （D） $2 \mathrm{e}^{2}$ ．

### 第54题 $\displaystyle 54 I=\int \frac{x \mathrm{e}^{x}}{\sqrt{1+\mathrm{e}^{x}}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ． Quan新笔说

### 第57题 $57 . I_{1}=\int \cos ^{4} x \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ，$I_{2}=\int \sin ^{4} x \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第58题 58 设 $f(x)$ 有一阶导数且满足 $\int_{0}^{1} f(t x) \mathrm{d} t=f(x)+x \sin x$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第580题 580 当 $x \rightarrow 0$ 时，连续函数 $f(x)$ 为二阶无穷小， $\int_{0}^{\sqrt[3]{x}} f(t) \mathrm{d} t$ 为 $k$ 阶无穷小，则 $k=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第586题 586 设平面有界区域 $D$ 由曲线 $x=y^{2}$ 与直线 $x+y=2$ 围成，则 $D$ 的面积为 $\_\_\_\_$ ， $D$ 绕 $y$ 轴旋转形成的旋转体体积为 $\_\_\_\_$。

### 第587题 587 设曲线 $L_{1}: y=1-x^{2}$ 与正 $x$ 轴、正 $y$ 轴所围成的区域被曲线 $L_{2}: y=a x^{2}$ 分为面积相等的两部分，则常数 $a=$ $\_\_\_\_$。 □

### 第588题 588 过原点与曲线 $C: y=x^{2}+1$ 相切的两条切线与 $C$ 所围成的图形绕 $y$ 轴旋转生成的旋转体体积 $V=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第589题 589 某地区居民购买冰箱的消费支出 $w(x)$ 的变化率是居民总收人 $x$ 的函数为 $\displaystyle \frac{1}{200 \sqrt{x}}$ ，当居民收人由 4 亿元增加到 9 亿元时购买冰箱的消费支出增加了 $\_\_\_\_$亿。

### 第59题 $59 I=\int_{0}^{1} \arcsin x \cdot \arccos x \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第590题 590 设生产某产品的固定成本为 50 ，产量为 $x$ 时的边际成本函数为 $C^{\prime}(x)=x^{2}-14 x+$ 111 ，边际收益函数为 $R^{\prime}(x)=100-2 x$ ，则总利润函数 $L(x)=$ $\_\_\_\_$ ．