向量组的秩与矩阵的秩的关系

### 第415题 415 下列矩阵中， $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 相似的是 （A） $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 2\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 2 & 2\end{array}\right]$. （B） $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 2\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 2\end{array}\right]$ ． （C） $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 3\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 2\end{array}\right]$ ． （D） $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}3 & 0 \\ 0 & 3\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ll}3 & 0 \\ 1 & 3\end{array}\right]$ ．

### 第419题 419 二次型 $$ a x_{1}^{2}+(2 a-1) x_{2}^{2}+a x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}+2 a x_{1} x_{3}-2 x_{2} x_{3} $$ 的正惯性指数 $p=1$ ，则 $a \in$ （A）$(1,+\infty)$ ． （B）$\displaystyle \left(-\frac{1}{2}, 1\right)$ ． （C）$\displaystyle \left(-\frac{1}{2}, 1\right]$ ． （D）$\displaystyle \left(-\infty,-\frac{1}{2}\right)$ ．

### 第5题 5．下列矩阵中不能相似于对角矩阵的为 （A）$\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ ． （B）$\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 2\end{array}\right]$ ． （C）$\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 2\end{array}\right]$ ． （D）$\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 1 & 2\end{array}\right]$ ．

### 第5题 5．已知二阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的一个特征向量为 $\binom{-3}{1}$ ，且 $|\boldsymbol{A}|<0$ ，则下面必为 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量的是 （A）$k\binom{-3}{1}$ ． （B）$\binom{1}{3}$ ． （C）$k_{1}\binom{-3}{1}+k_{2}\binom{1}{3}, k_{1} \neq 0$ 且 $k_{2} \neq 0$ 。 （D）$k_{1}\binom{-3}{1}+k_{2}\binom{1}{3}, k_{1}, k_{2}$ 不同时为零。

### 第7题 7．设 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$ 为三维列向量，已知三阶行列式 $|4 \boldsymbol{\gamma}-\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}-2 \boldsymbol{\gamma}, 2 \boldsymbol{\alpha}|=40$ ，则行列式 $|\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}|=$ $\_\_\_\_$。

### 第9题 9．线性方程组 $\left\{\begin{array}{c}x_{1}-\lambda x_{2}-2 x_{3}=-1 \\ x_{1}-x_{2}+\lambda x_{3}=2 \\ 5 x_{1}-5 x_{2}-4 x_{3}=\lambda\end{array}\right.$ 有唯一解，则 $\lambda$ 满足 $\_\_\_\_$ ．

### 第9题 9．设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关，若 $\boldsymbol{\beta}_{1}=\boldsymbol{\alpha}_{1}+2 \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{2}=2 \boldsymbol{\alpha}_{2}+k \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{3}=3 \boldsymbol{\alpha}_{3}+2 \boldsymbol{\alpha}_{1}$ 线性相关，常数 $k=$ $\_\_\_\_$。