向量组的秩与矩阵的秩的关系

### 第313题 313 已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & a & 4 \\ 1 & 0 & 2 & a \\ -1 & a & 1 & 0\end{array}\right], r(\boldsymbol{A})=3$ ，则 $a$ $\_\_\_\_$ ．

### 第315题 315 已知 $\boldsymbol{A}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$ 是三阶矩阵， $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 是三维列向量，其中 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 坐标不成比例， $\boldsymbol{\alpha}_{4}$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表出，则 $r(\boldsymbol{A})=$ $\_\_\_\_$。

### 第316题 316 设 $\boldsymbol{A}$ 是 $5 \times 4$ 矩阵，若 $\boldsymbol{\eta}_{1}, \boldsymbol{\eta}_{2}$ 是齐次方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系，则 $r\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)=$ $\_\_\_\_$ ． □

### 第320题 320 已知方程组 $$ $\left\{\begin{array}{c}$ a x_{1}+x_{2}+x_{3}=a-3 \\ x_{1}+a x_{2}+x_{3}=-2 \\ x_{1}+x_{2}+a x_{3}=-2 $\end{array}\right.$ $$ 有无穷多解，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第323题 323 已知 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$ ，其中 $\boldsymbol{\alpha}=(1,0,2)^{\mathrm{T}}$ ，则矩阵 $2 \boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}$ 的特征值是 $\_\_\_\_$。 324已知 $\boldsymbol{\alpha}=(a, 1,1)^{\mathrm{T}}$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 2 \\ 2 & a & -2 \\ 2 & -2 & -1\end{array}\right]$ 的逆矩阵的特征向量，那么 $\boldsymbol{\alpha}$ 在矩阵 $\boldsymbol{A}$ 中对应的特征值是 $\_\_\_\_$ ．

### 第325题 325 （1987，数四）矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}-3 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & 4 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right]$ 的实特征值所对应的特征向量是 $\_\_\_\_$ ． $\_\_\_\_$ ．

### 第327题 327 已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶实对称矩阵，特征值是 $1,3,-2$ ，其中 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,2,-2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}= (4,-1, a)^{\mathrm{T}}$ 分别是属于特征值 $\lambda=1$ 与 $\lambda=3$ 的特征向量，那么矩阵 $\boldsymbol{A}$ 属于特征值 $\lambda=-2$ 的特征向量是 $\_\_\_\_$。 328 设 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵，特征值是 $1,2,-1$ ，若 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}^{2}+2 \boldsymbol{A}+3 \boldsymbol{E}$ ，则 $|\boldsymbol{B}|=$ $\_\_\_\_$。

### 第329题 329 已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}3 & 0 & 0 \\ 0 & a & b \\ 0 & 2 & 3\end{array}\right]$ 和 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}3 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]$ 相似，则 $b=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第332题 332 已知 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\left[\begin{array}{ccc}1 & & \\ & 1 & \\ & & -1\end{array}\right], \boldsymbol{P}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$ 可逆，则矩阵 $\boldsymbol{A}$ 关于特征值 $\lambda=1$ 的特征向量是 $\_\_\_\_$ ．

### 第334题 334 设 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵， $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 是三维线性无关的列向量，且 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1}=\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{2}=\boldsymbol{\alpha}_{1}+ \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{3}=\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}$ ，则矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值是 $\_\_\_\_$。

### 第335题 335 已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶实对称矩阵，若正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 使得 $\boldsymbol{Q}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}=\left[\begin{array}{lll}3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 6\end{array}\right]$ ，如果 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1$ ， $0,-1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(0,1,1)^{\mathrm{T}}$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 属于特征值 $\lambda=3$ 的特征向量，则 $\boldsymbol{Q}=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第339题 339 二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=x_{1}^{2}+4 x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+4 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}+4 x_{2} x_{3}$ 在正交变换下的标准形为 $\_\_\_\_$ ．

### 第340题 340 已知 $\boldsymbol{\alpha}=(1,-1,0)^{\mathrm{T}}$ 是二次型 $$ $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=a x_{1}^{2}-2 x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}+2 b x_{2} x_{3}$ $$ 的特征向量，则此二次型经正交变换所得标准形是 $\_\_\_\_$。

### 第344题 344 设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 为三维列向量，矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right], \boldsymbol{B}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{3}, 2 \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, 3 \boldsymbol{\alpha}_{2}\right]$ ，若行列式 $|\boldsymbol{A}|=2$ ，则行列式 $|\boldsymbol{B}|=$ （A） 6 ． （B）-6 ． （C） 12 ． （D）-12 ．

### 第351题 351 已知 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 是 $n$ 维列向量，正确的结论是 （A） $\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$. （B） $\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}$. （C） $\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta}$ ． （D） $\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}$ ． 设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵， $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的转置矩阵， $\boldsymbol{A}^{*}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵， $\boldsymbol{E}$ 是 $n$ 阶单位矩阵， $\boldsymbol{\Lambda}_{1}$ ， $\boldsymbol{\Lambda}_{2}$ 都是 $n$ 阶对角矩阵，在下列运算中： $\boldsymbol{A A ^ { * }}=\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{A}$, $\boldsymbol{\Lambda}_{1} \boldsymbol{\Lambda}_{2}=\boldsymbol{\Lambda}_{2} \boldsymbol{\Lambda}_{1}$, $\boldsymbol{A}^{m} \boldsymbol{A}^{t}=\boldsymbol{A}^{t} \boldsymbol{A}^{m}$, $\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}$, $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\Lambda}_{1}=\boldsymbol{\Lambda}_{1} \boldsymbol{A}$, $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})=(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})$ 交换律肯定成立的共有

### 第354题 $354 \boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵，下列命题中正确的是 （A）如果 $\boldsymbol{A}^{2}=\boldsymbol{E}$ ，则必有 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}$ 或 $\boldsymbol{A}=-\boldsymbol{E}$ ． （B）如果 $\boldsymbol{A}^{2}=\boldsymbol{O}$ ，则必有 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ ． （C）如果 $\boldsymbol{A}^{2}=\boldsymbol{A}$ 且 $\boldsymbol{A} \neq \boldsymbol{O}$ ，则 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}$ ． （D）如果 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ ，则 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ ．

### 第367题 367 已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 5 \\ 1 & a & 10\end{array}\right]$ ，且秩 $r(\boldsymbol{A})=2$ ，则 $a=$ （A） 1 ． （B）-2 ． （C）3． （D）-1 ． 若矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 $r$ ，则下列命题中，正确的是

### 第369题 369 已知 $a$ 是任意常数，下列矩阵中秩有可能不等于 3 的是 （A）$\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & 1 & a-1\end{array}\right]$ ． （B）$\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & a & a+1\end{array}\right]$ ． （C）$\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a \\ 0 & 0 & 0 & a+1\end{array}\right]$ ． （D）$\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a+1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 a+2\end{array}\right]$ ． 370 设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 都是四阶非零矩阵，且 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$ ，则必有

### 第371题 371 已知 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{A}^{*}$ 均为 3 阶非零矩阵，且满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$ ，则 $r(\boldsymbol{B})=$ （A） 1 ． （B） 2 ． （C） 3 ． （D） 1 或 2 ．

### 第372题 372 已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 0 \\ 3 & a & 2 \\ a & 4 & a\end{array}\right]$ ，则 $a=-2$ 是 $r(\boldsymbol{A})=2$ 的 （A）充分而非必要条件． （B）必要而非充分条件． （C）充分且必要条件． （D）既不充分也不必要条件． □ 纠铺笔记