向量组的秩与矩阵的秩的关系

### 第373题 373 已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & a \\ 2 & 3 & a & 4 \\ 3 & 5 & 1 & 9\end{array}\right], \boldsymbol{A}^{*}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵，若 $r\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)=1$ ，则 $a=$ （A） 3 ． （B） 2 ． （C） 1 ． （D） 1 或 3 ．

### 第374题 374 设 $\boldsymbol{A}$ 是 $5 \times 4$ 矩阵，且 $\boldsymbol{A}$ 的列向量线性无关， $\boldsymbol{B}$ 是 4 阶矩阵，满足 $2 \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{A} . \boldsymbol{B}^{*}$ 是 $\boldsymbol{B}$的伴随矩阵。则 $r\left(\boldsymbol{B}^{*}\right)=$ （A） 1 ． （B） 2 ． （C） 3 ． （D） 4 ．

### 第375题 375 现有四个向量组 （1）$(1,2,3)^{\mathrm{T}},(3,-1,5)^{\mathrm{T}},(0,4,-2)^{\mathrm{T}},(1,3,0)^{\mathrm{T}}$ （2）$(a, 1, b, 0,0)^{\mathrm{T}},(c, 0, d, 2,0)^{\mathrm{T}},(e, 0, f, 0,3)^{\mathrm{T}}$ （3）$(a, 1,2,3)^{\mathrm{T}},(b, 1,2,3)^{\mathrm{T}},(c, 3,4,5)^{\mathrm{T}},(d, 0,0,0)^{\mathrm{T}}$ （4）$(1,0,3,1)^{\mathrm{T}},(-1,3,0,-2)^{\mathrm{T}},(2,1,7,2)^{\mathrm{T}},(4,2,14,5)^{\mathrm{T}}$ 则下列结论正确的是 （A）线性相关的向量组为（1）（4）；线性无关的向量组为（2）（3）． （B）线性相关的向量组为（3）（4）；线性无关的向量组为（1）（2）． （C）线性相关的向量组为（1）（2）；线性无关的向量组为（3）（4）． （D）线性相关的向量组为（1）（3）（4）；线性无关的向量组为（2）．

### 第377题 377 已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,1, t)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1, t, 1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(t, 1,1)^{\mathrm{T}}$ 线性相关，而 $\boldsymbol{\beta}_{1}=(1,3$ ， $2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_{2}=(2,7, t+4)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_{3}=(0, t+2,3)^{\mathrm{T}}$ 线性无关，则 （A）$t \neq-3$ ． （B）$t=1$ ． （C）$t=-2$ ． （D）$t=-3$ ．

### 第379题 379 设 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ ，则 $|\boldsymbol{A}|=0$ 的充分必要条件是 （A） $\boldsymbol{A}$ 的列向量线性相关． （B） $\boldsymbol{A}$ 的列向量线性无关． （C） $\boldsymbol{A}$ 中每一个列向量都可由其他列向量线性表示． （D） $\boldsymbol{A}$ 中一定有 2 个列向量坐标成比例．

### 第383题 383 设 $\boldsymbol{A}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right], \boldsymbol{B}=\left[\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{n}\right], \boldsymbol{A B}=\left[\boldsymbol{\gamma}_{1}, \boldsymbol{\gamma}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\gamma}_{n}\right]$ 都是 $n$ 阶矩阵，记向量组（I） $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}$ ；（II） $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{n}$ ；（III） $\boldsymbol{\gamma}_{1}, \boldsymbol{\gamma}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\gamma}_{n}$ ．若向量组（III）线性相关，则 （A）（I）、（II）均线性相关． （B）（I）或（II）中至少有一个线性相关． （C）（I）一定线性相关． （D）（II）一定线性相关．

### 第387题 387 已知 $\boldsymbol{\beta}_{1}=(4,-2, a)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_{2}=(7, b, 4)^{\mathrm{T}}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,2,3)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(-2,1,-1)^{\mathrm{T}}$ 线性表示，则 （A）$a=2, b=-3$ ． （B）$a=-2, b=3$ ． （C）$a=2, b=3$ ． （D）$a=-2, b=-3$ ．

### 第394题 394 已知四维向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性无关，且向量 $\boldsymbol{\beta}_{1}=\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{3}+\boldsymbol{\alpha}_{4}, \boldsymbol{\beta}_{2}=\boldsymbol{\alpha}_{2}-\boldsymbol{\alpha}_{4}$ ， $\boldsymbol{\beta}_{3}=\boldsymbol{\alpha}_{3}+\boldsymbol{\alpha}_{4}, \boldsymbol{\beta}_{4}=\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{5}=2 \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}$ ，则 $r\left(\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{4}, \boldsymbol{\beta}_{5}\right)=$ （A） 1 ． （B） 2 ． （C） 3 ． （D） 4 ． 395某五元齐次线性方程组经高斯消元，系数矩阵化为 $\left[\begin{array}{ccccc}1 & -2 & 2 & 3 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & 5 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0\end{array}\right]$ ，选取自由变量不能是

### 第4题 4．已知齐次方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有非零解，且 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & a & 1\end{array}\right]$ ，则 $a=$ （A） 2 ． （B） 1 ． （C） 0 ． （D）-1 ．

### 第401题 401 设 $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩阵， $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的转置，若 $\boldsymbol{\eta}_{1}, \boldsymbol{\eta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\eta}_{t}$ 是齐次方程组 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系，则秩 $r(\boldsymbol{A})=$ （A）$t$ ． （B）$n-t$ ． （C）$m-t$ ． （D）$n-m$ ．

### 第402题 402 要使 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(2,1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,-2,-1)^{\mathrm{T}}$ 都是齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解，只要系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 为 （A）$\left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & -1\end{array}\right]$ ． （B）$\left[\begin{array}{ccc}1 & 3 & -5 \\ -1 & -3 & 5\end{array}\right]$ ． （C）$\left[\begin{array}{ccc}1 & -4 & 2 \\ 1 & 2 & -1\end{array}\right]$ ． （D）$\left[\begin{array}{lll}1 & -3 & 1 \\ 2 & -6 & 2\end{array}\right]$ ．