向量组的秩与矩阵的秩的关系

### 第2题 2．已知 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\gamma}_{2}, \boldsymbol{\gamma}_{3}, \boldsymbol{\gamma}_{4}\right), \boldsymbol{B}=\left(\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}_{2}, \boldsymbol{\gamma}_{3}, \boldsymbol{\gamma}_{4}\right)$ 为四阶方阵，其中 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}_{2}, \boldsymbol{\gamma}_{3}, \boldsymbol{\gamma}_{4}$ 均为四维列向量，且已知行列式 $|\boldsymbol{A}|=4,|\boldsymbol{B}|=1$ ，则 $|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}|=$ （A） 5 ． （B） 10 ． （C） 20 ． （D） 40 ．

### 第2题 2．设矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 $r$ ，则 $\boldsymbol{A}$ 中 （A）所有 $r-1$ 阶子式都不为 0 。 （B）所有 $r-1$ 阶子式全为 0 ． （C）至少有一个 $r$ 阶子式不等于 0 ． （D）所有 $r$ 阶子式都不为 0 。

### 第219题 219 设 $f_{1}(x), f_{2}(x)$ 为二阶常系数线性微分方程 $y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=0$ 的两个特解，$C_{1}, C_{2}$是两个任意常数，则 $C_{1} f_{1}(x)+C_{2} f_{2}(x)$ 是该方程通解的充分条件是 （A）$f_{1}(x) f_{2}^{\prime}(x)-f_{2}(x) f_{1}^{\prime}(x)=0$ ． （B）$f_{1}(x) f_{2}^{\prime}(x)+f_{2}(x) f^{\prime}{ }_{1}(x)=0$ ． （C）$f_{1}(x) f_{2}^{\prime}(x)+f_{2}(x) f_{1}^{\prime}(x) \neq 0$ ． （D）$f_{1}(x) f_{2}^{\prime}(x)-f_{2}(x) f_{1}^{\prime}(x) \neq 0$ ．

### 第296题 296 已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,0,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,2,-1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(-1,1,0)^{\mathrm{T}}$ 且 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1}=(2,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{2}= (-1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{3}=(3,-4)^{\mathrm{T}}$ ，则 $\boldsymbol{A}=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第299题 299 设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ -1 & -2 & 2 \\ 0 & 2 & a\end{array}\right]$ 与 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \\ 4 & -1 & 2\end{array}\right]$ 等价，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第3题 齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_{1}+\quad 2 x_{3}-x_{4}=0 \\ x_{1}+x_{2}+\quad x_{4}=0\end{array}\right.$ 的基础解系是 （A）$(-2,2,1,0)^{\mathrm{T}},(1,2,0,1)^{\mathrm{T}}$ ． （B）$(-1,0,1,1)^{\mathrm{T}},(2,0,-2,-2)^{\mathrm{T}}$ ． （C）$(-2,2,1,0)^{\mathrm{T}},(2,2,-3,-4)^{\mathrm{T}}$ ． （D）$(1,-2,0,1)^{\mathrm{T}}$ ．

### 第3题 3．设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=\left(1,0,0, \lambda_{1}\right)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=\left(1,2,0, \lambda_{2}\right)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=\left(-1,2,3, \lambda_{3}\right)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{4}=\left(-2,1,5, \lambda_{4}\right)^{\mathrm{T}}$ ，其中 $\lambda_{1}$ ， $\lambda_{2}, \lambda_{3}, \lambda_{4}$ 是任意实数，则有 （A） $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 总线性相关． （B） $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 总线性相关． （C） $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 总线性无关． （D） $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 总线性无关．

### 第300题 300 已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & a+2 \\ 1 & a & -2\end{array}\right]$ 和 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & a \\ -1 & a & 1 \\ 1 & -1 & 2\end{array}\right]$ 不等价，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第301题 301 已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,2,3)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(3,-1,2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(2,3, t)^{\mathrm{T}}$ 线性相关，则 $t=$ $\_\_\_\_$。 Q约错笔记

### 第302题 302 （1997，数二）已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,2,-1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(2,0, t, 0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(0,-4,5, t)^{\mathrm{T}}$线性无关，则 $t$ 的取值为 $\_\_\_\_$。

### 第303题 303 已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(a+1,1, a)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(a,-2,2-a)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(a-1,-3,4-a)^{\mathrm{T}}$ 线性相关，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第304题 304 已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关，若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}+2 \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{1}+a \boldsymbol{\alpha}_{2}, 3 \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性相关，则 $a=$ $\_\_\_\_$。

### 第305题 305 已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关，若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}-3 \boldsymbol{\alpha}_{3}, a \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}+2 \boldsymbol{\alpha}_{3}, 2 \boldsymbol{\alpha}_{1}+3 \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 亦线性无关，则 $a$ 的取值为 $\_\_\_\_$ ． □

### 第306题 306 已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,2,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(2,3, a)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(1, a+2,-2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}=(1,3,0)^{\mathrm{T}}$ ．若 $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示，且表示法不唯一，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第307题 307 已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,3,2,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(2,-1,4,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(5,1,6,2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}=(7, a, 14,3)^{\mathrm{T}}$ ，且 $\boldsymbol{\beta}$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示，则 $a$ 的取值为 $\_\_\_\_$ ． （0）

### 第308题 308 已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,4,2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(2,7,3)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(0,1, a)^{\mathrm{T}}$ 可以表示任意一个三维向量，则 $a$ 的取值为 $\_\_\_\_$ ．

### 第309题 309 已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,1,-1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,-1, a)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(a, 2,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}=\left(4,-4, a^{2}\right)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\gamma}= (a, b, c)^{\mathrm{T}}$ ．如 $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表出，但 $\boldsymbol{\gamma}$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第310题 310 已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(a, a, 1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(a, 1, a)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(1, a, a)^{\mathrm{T}}$ 的秩是 2 ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第311题 311 向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(2,1,3)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,2,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(3,3,4)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{4}=(5,1,8)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{5}=(0,0$, 2）${ }^{\mathrm{T}}$ 的一个极大线性无关组是 $\_\_\_\_$ ．

### 第312题 312 已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 是向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,4,3)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(2, a,-1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(a+1,3,1)^{\mathrm{T}}$ 的一个极大线性无关组，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．