📝 清华大学 2022年强基真题

$\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2}=1$ ，求 $\displaystyle |a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|+|e-a|$ 的最大值。

已知复数 $\displaystyle z$ 满足 $\displaystyle |z|=1$ ，求 $\displaystyle \left|(z-2)(z+1)^{2}\right|$ 的最大值。

在复平面内，复数 $\displaystyle z_{1}$ 终点在 $\displaystyle 1+i$ 和 $\displaystyle 1+a i$ 表示两点连成的线段上移动，$\displaystyle \left|z_{2}\right|=1$ ，若 $\displaystyle z=z_{1}+z_{2}$ 在复平面上表示的点围成的面积为 $\displaystyle \pi+4$ ，则 a 的可能值为 。

对于 $\displaystyle \mathrm{x} \in \mathrm{R}, \mathrm{f}(\mathrm{x})$ 满足 $\displaystyle f(x)+f(1-x)=1, f(x)=2 f\left(\frac{x}{5}\right)$ ，且对于 $\displaystyle 0 \leq x_{1} \leq x_{2} \leq 1$ ，恒有 $\displaystyle f\left(x_{1}\right) \leqslant f\left(x_{2}\right)$ ，则 $\displaystyle \mathrm{f}\left(\frac{1}{2022}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。

对于三个正整数 $\displaystyle \mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ ，有 $\displaystyle \sqrt{a+b}, \sqrt{b+c}, \sqrt{c+a}$ 为三个连续正整数，则 $\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}$ 最小值为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

已知 $\displaystyle a^{2}+a b+b^{2}=3$ ，求 $\displaystyle a^{2}+b^{2}-a b$ 的最大值和最小值。

$\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} \sin \frac{(2 k-1) \pi}{2 n}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。

任意四边形 $\displaystyle \mathrm{ABCD}, \overrightarrow{A C}=\vec{a}, \overrightarrow{B D}=\vec{b}$ ，则 $\displaystyle (\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{B C})(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{D C})=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ （用 $\displaystyle \vec{a}, \vec{b}$ 表示）。

$\displaystyle a x+b y=A, a x^{2}+b y^{2}=B a x^{3}+b y^{3}=C a x^{4}+b y^{4}=D \cdots \cdots$ 求 $\displaystyle a x^{5}+b y^{5}$ 的值（用含 $\displaystyle \mathrm{A}, \mathrm{B}$ ， $\displaystyle C, D$ 的值表示）。