📝 中国科学技术大学 2021年强基真题

已知正实数 $\displaystyle a$ ，二次函数 $\displaystyle y=a x^{2}-x+1$ ，若任意长度为 I 的区间上，存在两点函数值之差的绝对值不小于 1 ，则 $\displaystyle a$ 的最小值为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

已知正实数 $\displaystyle x, y$ 满足 $\displaystyle \frac{8}{x}+\frac{1}{y}=1$ ，则 $\displaystyle \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 的最小值为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

已知正实数 $\displaystyle a, b, c$ 满足 $\displaystyle a+b+c=1$ ，则 $\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a b c$ 的取值范围是 $\displaystyle \_\_\_\_$。

拋物线 $\displaystyle y=x^{2}$ 上有 $\displaystyle A, B$ 两点，$\displaystyle A B=2$ ，则 $\displaystyle A B$ 中点的轨迹方程为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

投掷一个均匀的骰子（各面为 1－6） n 次，记该过程中出现的最大数字为 $\displaystyle X$ ，则 $\displaystyle E(X)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。

有边长为 1 的正 $\displaystyle \triangle A B C, D$ 在边 $\displaystyle A B$ 上，$\displaystyle E$ 在边 $\displaystyle A C$ 上，$\displaystyle D E$ 平行 $\displaystyle B C$ ，沿 $\displaystyle D E$ 折起三角形，求所成四棱雉 $\displaystyle A-D E B C$ 的体积的最大值。

已知 $\displaystyle \left[C_{n}\right]=(4+2 \sqrt{3})^{n}$ 的整数部分，证明： $\displaystyle 2^{n+1}$ 能被 $\displaystyle \left[C_{n}\right]+1$ 整除。

已知 $\displaystyle \alpha, \beta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，求 $\displaystyle \frac{2 \sin ^{4} \alpha+3 \cos ^{4} \beta}{4 \sin ^{2} \alpha+5 \cos ^{2} \beta}+\frac{2 \cos ^{4} \alpha+3 \sin ^{4} \beta}{4 \cos ^{2} \alpha+5 \sin ^{2} \beta}$ 的最小值。

已知 $\displaystyle f(x), g(x), h(x)$ 为实系数多项式，且两两互素，有 $\displaystyle [f(x)]^{n}+[g(x)]^{n}=[h(x)]^{n}, n \in \mathrm{~N}^{*}$ ，证明：$\displaystyle n$ 只能是 1 或 2 。