📝 中国科学技术大学 2021年强基真题

求 $\displaystyle \sum_{k=1}^{2020} \sin \frac{k \pi}{2021}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。

设抛物线 $\displaystyle y=x^{2}$ 与 $\displaystyle x=a y^{2}+1$ 相切，则 $\displaystyle a=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。

写出一个函数 $\displaystyle f(x)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ，使得 $\displaystyle f(x-f(y))=f(f(y))+2 x f(y)+f(x)-1$ 对于任意的 $\displaystyle x, y \in R$ 恒成立。

设空间区域 $\displaystyle \left\{(x, y, x) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1, z \geqslant 0\right\}$ 中存在四个点两两距离都是 $\displaystyle d$ ，则 $\displaystyle d$ 的最大值为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

设 $\displaystyle k$ 个人进行互相传球游戏，每个拿球的人等可能地把球传给其他人中的任何一位， $\displaystyle k \geq 3$ ，若初始时球在甲手中，则第 $\displaystyle n$ 次传球之后，球又回到甲手中地概率为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

求函数 $\displaystyle f(x)=5+6 \cos x-3 \cos ^{2} x-4 \cos ^{3} x+\frac{1}{4} \sin \frac{3 x}{2}$ 的取值范围。

设 $\displaystyle a, b, c$ 是正整数，$\displaystyle p$ 是素数，$\displaystyle p \geqslant 5$ 且 $\displaystyle p$ 整除 $\displaystyle a^{\frac{p-1}{2}}+b^{\frac{p-1}{2}}+c^{\frac{p-1}{2}}$ ，证明：$\displaystyle p$ 整除 $\displaystyle a b c$ 。

设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle a_{1}=3$ ，且对任意正整数 $\displaystyle m, n$ 均有 $\displaystyle a_{2 m+n}=2 a_{m}+a_{n}+2 m^{2}+4 m n$ ，求 $\displaystyle a_{n}$ 的通项公式。

设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle n$ 次实系数多项式，其中 $\displaystyle n \geqslant 1, g(x)=f(x)-f^{\prime}(x)$ ，证明：若 $\displaystyle f(x)$ 的 $\displaystyle n$ 个根都是实数，则 $\displaystyle g(x)$ 的 $\displaystyle n$ 个根也都是实数。