📝 香港中文大学（深圳） 2021年强基真题

求值： $\displaystyle \cos 48^{\circ}-\cos 12^{\circ}+\cos 36^{\circ}$ 。

若 $\displaystyle \cos \theta \geq \frac{2}{3}$ ，求 $\displaystyle \cos 2 \theta+\cos 3 \theta+\cos 4 \theta$ 的最小值。

已知时段 $\displaystyle A$ ：甲乙丙三个人的年龄之和是 101 岁，时段 $\displaystyle B$ ：甲 17 岁时，乙丙年龄之和是 67 岁，时段 $\displaystyle C$ ：乙 35 岁时，甲丙年龄之差是 7 岁，问时段 $\displaystyle A B C$ 的先后顺序。 6 ．求方程 $\displaystyle \left(x^{3}+1\right)\left(y^{3}+1\right)=0$ 的全部整数解。

记椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ 的上下顶点为 $\displaystyle A, B$ ，过点 $\displaystyle B$ 作线段 $\displaystyle B C \perp y$ 轴，连接 $\displaystyle O C$ ，过点 $\displaystyle A$ 作平行于 $\displaystyle O C$ 的直线，交椭圆于点 $\displaystyle D$ ，过点 $\displaystyle D$ 作 $\displaystyle D E \perp y$ 轴，连接 $\displaystyle A C$ 交 $\displaystyle D E$ 于点 $\displaystyle P$ ，求 $\displaystyle P E$ 和 $\displaystyle P D$ 之间的关系。

求直线区域族 $\displaystyle 2 a x+b y-2 \leq 0,|a|,|b| \leq 1$ 交集的面积。

已知 $\displaystyle A, B$ 为单位球上两个点，满足 $\displaystyle O A \perp O B$ 。设 $\displaystyle M N$ 为该球的一条直径，一点 $\displaystyle C$ 满足 $\displaystyle 2 \overrightarrow{O C}=\lambda \overrightarrow{O A}+(1-\lambda) \overrightarrow{O B}$ 。求 $\displaystyle \overrightarrow{C M} \cdot \overrightarrow{C N}$ 的最小值。

已知两个非零向量 $\displaystyle \vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b}=\frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|$ ，求 $\displaystyle \langle\vec{a}, \vec{a}+2 \vec{b}\rangle$ 的取值范围。

求二元方程 $\displaystyle x^{3}+3 x^{2}-4 x=y^{3}+6 y^{2}+8 y+1$ 的全部整数解 $\displaystyle (x, y)$ 。

求表达式 $\displaystyle S=\frac{1}{2} C_{11}^{0}+\frac{1}{2 \cdot 2^{2}} C_{11}^{1}+\frac{1}{3 \cdot 2^{3}} C_{11}^{2}+\cdots+\frac{1}{12 \cdot 2^{12}} C_{11}^{11}$ 的值。