📝 东北师范大学 2026年数学分析真题

1．求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(2026 \cos ^{2} n+\sin ^{2} n\right)^{\frac{1}{n}}$ ．

2．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1^{x}+2^{x}+\cdots+2026^{x}}{2026}\right)^{\frac{1}{\sin x}}$ ．

3．计算重积分 $\iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 由椭圆 $9 x^{2}+y^{2}=1$ 所围成．

4．想不起来了．

5．计算定积分 $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{t^{2027}-t^{2025}+t+1}{\cos ^{2} t} \mathrm{~d} t$ ．

三．（ 15 分）设函数 $\displaystyle u(x, y)$ 由方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
y z+2 x z+x y=u \\
x^{2}+y^{2}+z^{2}=1
\end{array}\right.
$$

所确定，求 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}$ 及 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial y \partial x}$ ．

九．（10 分）设正数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle a_{n+1} \leq a_{n}+\frac{1}{2026^{n}}$ ．
（1）证明数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 有界．
（2）证明数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛．

二．（15 分）计算曲线积分 $\displaystyle \oint_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{16 x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle \Gamma$ 为圆周 $\displaystyle (x-2)^{2}+y^{2}=9$ ，取逆时针方向．

五．（15 分）求由曲线 $\displaystyle y=2 x^{2}$ 与 $\displaystyle y=x$ 所围成的平面图形的面积，并求
（1）该图形绕 $x$ 轴旋转所得的旋转体体积．
（2）该图形绕 $y$ 轴旋转所得的旋转体体积．

八．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 上可导，且

$$
f^{2}(1)-f^{2}(0)=2026
$$

证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi) f(\xi)=2026 \xi$ ．

六．（15 分）求函数 $\displaystyle f(x, y)=x^{2}+y^{2}-6 x+8 y$ 在区域 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leq 25$ 上的最大值与最小值．

四．（15 分）设 $\displaystyle k(x, y) \in C([0,1] \times[0,1]), f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可积，且

$$
h(x)=\int_{0}^{x} f(y) k(x, y) \mathrm{d} y
$$

证明：$\displaystyle h(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续．